Lo sciocco cerca la felicità lontano, il saggio la fa crescere sotto i suoi piedi
Geometria dei Numeri Complessi
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
La retta reale : ogni numero reale corrisponde ad un suo punto
Questa retta viene spesso chiamata retta reale.
Ad ogni suo punto (i punti sono infiniti) viene associato, senza possibilità di
ambiguità, uno ed un solo numero reale.
Si dice cioè che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti della
retta.
Nella figura soprastante si sono rappresentati numeri razionali (3/4 e -3/4) e alcuni
numeri reali, con i loro simmetrici rispetto all'origine.
È possibile una rappresentazione analoga per i numeri complessi?
Sorge subito la difficoltà di rappresentare .
Semplicemente non esiste alcun punto della retta a cui associare l'unità immaginaria
, dal momento che non è un numero reale.
Se moltiplichiamo 1 per otteniamo −1, che è reale ed è rappresentato da un punto
sulla retta.
Potremmo quindi pensare che i trasformi 1 nel suo opposto −1, che corrisponde
geometricamente ad una rotazione di 180° del segmento [0,1]. Ma allora
moltiplicare 1 per i non potrebbe significare ruotare il segmento [0,1] di 90° e che
quindi sia rappresentabile da un punto su una retta perpendicolare all'asse
reale?
Caspar Wessel (1798), Argand (1806) e infine Gauss (1831) ebbero appunto la
geniale idea di rappresentare i, e tutti gli altri numeri immaginari, su di un'altra retta
perpendicolare alla retta reale.
LA GEOMETRIA DEI NUMERI COMPLESSI
Abbiamo visto come si eseguono le operazioni fondamentali con
i numeri complessi, ma questo non ci fa ancora comprendere
quale sia la loro vera potenza.
Perciò è opportuno ricorrere ad una rappresentazione geometrica
dei numeri complessi.
Il piano di Argand - Gauss
I numeri reali vengono normalmente rappresentati come punti di
una retta, una volta fissata la posizione dello zero e determinato
il verso positivo.
Questa retta prende il nome di retta immaginaria o asse immaginario.
Nel piano di Gauss (d'ora in poi lo chiameremo così) ogni numero complesso
è rappresentato da un punto, identificato da una coppia ordinata di numeri:
in cui il primo elemento della coppia è la parte reale ed il secondo la parte
immaginaria di z.
I numeri reali sono rappresentati da tutte le coppie del tipo , i numeri immaginari
da tutte le coppie .
In particolare l'unità immaginaria è rappresentata dalla coppia , quindi
Lorem Ipsum Dolor
Cupidatat excepteur ea dolore sed in adipisicing id? Nulla lorem deserunt aliquip officia reprehenderit fugiat, dolor excepteur in et officia ex sunt ut, nulla consequat. Laboris, lorem excepteur qui labore magna enim ipsum adipisicing ut. Sint in veniam minim dolore consectetur enim deserunt mollit deserunt ullamco. Mollit aliqua enim pariatur excepteur. Labore nulla sunt, in, excepteur reprehenderit lorem fugiat. Ipsum velit sunt! Non veniam ullamco amet officia ut, ex mollit excepteur exercitation fugiat eu ut esse cupidatat in velit. Non eu ullamco in pariatur nisi voluptate mollit quis sed voluptate ea amet proident dolore elit. Occaecat nostrud dolore sunt, ullamco eu ad minim excepteur minim fugiat. Nostrud culpa eiusmod dolor tempor et qui mollit deserunt irure ex tempor ut dolore. Dolore, nostrud duis ad. In nulla dolore incididunt, sit, labore culpa officia consectetur mollit cupidatat exercitation eu. Aute incididunt ullamco nisi ut lorem mollit dolore, enim reprehenderit est laborum ut et elit culpa nulla. Excepteur fugiat, laboris est dolore elit. In velit lorem id, et, voluptate incididunt ut ad in sunt fugiat, esse lorem. Nisi dolore ea officia amet cillum officia incididunt magna nisi minim do fugiat ut nostrud dolore Qui in est in adipisicing ea fugiat aliqua. Reprehenderit excepteur laboris pariatur officia sit amet culpa aliquip quis elit eiusmod minim. Sint ut ut, proident in mollit do qui eu. Pariatur et cupidatat esse in incididunt magna amet sint sit ad, sunt cillum nulla sit, officia qui. Tempor, velit est cillum sit elit sed sint, sunt veniam.
© Irure ut pariatur ad ea in ut in et. In incididunt sed tempor
