Crescere richiede un'intera vita ma per diventare vecchi una notte è sufficiente.
Vettori ed Unità
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Numeri complessi e vettori
Abbiamo già evidenziato che il prodotto di un numero complesso
per il suo coniugato fornisce una grandezza reale, sempre
positiva: z·z* = a2 + b2, la cui radice quadrata r = |z| =
=√a2 + b2 abbiamo chiamato modulo del numero complesso.
Nel piano di Gauss, |z| rappresenta la distanza (euclidea) del
punto z dall'origine.
Questo conduce a pensare al numero complesso, non solamente
come un punto nel piano di Gauss, ma come un vettore di
modulo |z| che rappresenta la posizione del punto z rispetto
all'origine degli assi.
Vettore rappresentativo del numero complesso z
Anche qui però dobbiamo porre attenzione al fatto che non basta semplicemente
dare un nome ad una grandezza: se affermiamo che z è un vettore dobbiamo
provare che si comporta effettivamente come un vettore.
Per esempio dovremmo verificare che i vettori rappresentativi di numeri complessi
si sommano secondo la regola del parallelogrammo.
Questo in effetti lo si può vedere
facilmente sulla figura interattiva
a sinistra.
Dato allora un numero z e un
numero w, visualizziamo il
numero s = z + w ed i vettori
corrispondenti
Anche la differenza d = z − w
ha il suo corrispondente nella
differenza tra vettori.
Il vettore differenza d è sempli-
-cemente il vettore differenza
(tratteggiato) trasposto ed
applicato all'origine.
Prodotto e divisione rappresentati
sul piano di Gauss come vettori
meritano un discorso a parte,
che riprenderemo dopo aver
introdotto un altro tipo di
rappresentazione dei numeri
complessi: la forma polare.
Interpretazione geometrica del prodotto e della divisione di numeri complessi
Per il momento visualizziamo il prodotto Z3=Z1*Z2 (far attenzione a dimensionare
Z1 e Z2 in modo che Z3 sia all'interno del campo di visualizzazione ). Ora teniamo
fisso Z1 e facciamo variare il punto Z2.
Osserviamo un fatto interessante: il vettore Z3, oltre a subire una variazione del
modulo viene ruotato di un certo angolo.
Confrontiamolo con l'angolo che Z2 forma con l'asse reale. Questi due angoli sono
evidentemente uguali.L'angolo che il vettore rappresentativo di un numero
complesso forma con l'asse reale è detto argomento del numero complesso.
L'argomento
di Z3 allora è la somma tra
, argomento di Z1 , e β, argomento di
Z2: . Se spostiamo Z2 nel IV quadrante (parte reale positiva; parte
immaginaria negativa) questa relazione è ancora vera? Sembrerebbe ora di dover
eseguire una differenza tra angoli, questo perchè l'angolo β in questo caso è
negativo. La relazione è quindi ancora valida e lo è anche per gli altri
quadranti.
Cosa possiamo dire della divisione Z4 = Z1/Z2 ?
Anche qui poniamo Z2 sull'asse reale. Ruotiamo Z1 in senso antiorario. Ora sembra
chiaro che l'angolo δ, argomento di Z4, corrisponde alla differenza: .
Potremo dimostrare questi fatti dopo aver introdotto la forma trigonometrica dei
numeri complessi.
L' unità immaginaria come operatore di rotazione
Particolarmente importante e interessante è il ruolo geometrico che riveste l'unità
immaginaria j, la quale è a sua volta rapresentata da un vettore di modulo unitario.
Nell'applet interattivo soprastante, osserviamo cosa accade quando moltiplichiamo
un numero complesso qualsiasi per j.
Supponiamo, ad esempio, di moltiplicare per j il numero , applicando la
definizione di prodotto e la proprietà dell'unità immaginaria
Notiamo che il modulo resta invariato (la parte reale e la parte immaginaria si
scambiano di ruolo), ma il vettore viene ruotato di 90° ( radianti) in senso
antiorario rispetto a . Cosa succede se dividiamo
per ?
Qui abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per −j (il complesso coniugato
di j) per avere 1 al denominatore, quindi:
In questo caso il vettore z/j ha ancora lo stesso modulo di z, ma viene ruotato di 90°
in senso orario ( rotazione di −90°, radianti). Da ciò possiamo anche
comprendere che dividere per j equivale a moltiplicare per −j:
In conclusione, l'unità immaginaria j può essere pensata come un operatore di
rotazione di 90° o radianti:
z * (−j) = ruota z di −90° (rotazione di 90° in senso orario, equivale a z / j )
Possiamo moltiplicare ripetutamente per j:
esempio: , che equivale a far ruotare il vettore
di 180°.
Cosi, moltiplicare per equivale a moltiplicare per , che
rappresenta una rotazione di 270° oppure di −90°.
Invece moltiplicare per equivale a una rotazione di 360°.
Riassumendo:
moltiplicazione per
rotazione
90°
180°
270° ( -90°)
360°
Puoi trascinare il punto z ed osservare, in alto a sinistra, come variano la
parte reale ed immaginaria del numero complesso rappresentato dal punto z.
Oltre che al prodotto (Z3), possiamo visualizzare anche la divisione (Z4), la somma(Z5)
e la differenza(Z6) dei due vettori Z1 e Z2.
Osserviamo il comportamento del prodotto Z3=Z1*Z2 .
Portiamo Z2 sull'asse reale (Z2 = 2 + j0) e notiamo che il vettore prodotto Z3 = Z1*Z2
è parallelo a Z1, giace cioè sulla stessa retta e forma quindi con l'asse reale un angolo
uguale a quello formato da Z1.
Ora ruotiamo Z2 ,ad esempio in senso antiorario. Il vettore prodotto ruota anch'esso
mantenendo costante il modulo. Cerchiamo di apprezzare l'angolo tra Z1 e Z3.
z * j = ruota z di +90° (rotazione di 90° in senso antiorario)
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