L’esperienza non è ciò che ti succede. È ciò che fai con quello che ti succede
Somma, Differenza e Prodotto
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possaessere grande sia
la propria ignoranza!
Possiamo sommare numeri reali a numeri immaginari, ottenendo
oggetti del tipo (oppure ).
Per queste entità definiamo somma, prodotto e differenza sulla
scorta di quanto fatto in algebra per i binomi, ricordando la
proprietà di i prima enunciata.
Con queste definizioni è possibile dimostrare che oggetti matematici come
godono effettivamente di tutte le proprietà caratteristiche dei numeri e quindi sono
da considerarsi numeri a tutti gli effetti.
Essi prendono il nome di numeri complessi.
Il numero a ( oppure c) è detto parte reale del numero complesso, mentre b (oppure
d) è la parte immaginaria. Se , allora ,parte reale di z e ,
parte immaginaria di z.
D'ora in avanti, per indicare un numero complesso useremo un carattere tipografico
in grassetto, oppure , carattere sopralineato
Esiste un numero complesso che sommato a qualsiasi altro numero complesso
, dia il numero z stesso?
Sì, è , infatti :
Questo numero è l'elemento neutro per la somma di numeri complessi
Esiste un numero complesso che moltiplicato per qualsiasi altro numero complesso
, dia il numero z stesso?
Anche in questo caso la risposta è affermativa: questo numero è , infatti:
, è l'elemento neutro
per il prodotto di numeri complessi
Numeri complessi coniugati
Abbiamo visto prima che i2 = −1, per cui .
Questo è vero qualsiasi sia il numero immaginario. Esempio: i .
Numeri di questo tipo si dicono numeri immaginari coniugati.
Differiscono solo per il segno e moltiplicati tra loro danno sempre un numero reale
positivo, che è il quadrato della parte immaginaria del numero immaginario stesso:
.
Generalizzando: ed sono numeri complessi coniugati.
Essi differiscono solo per il segno della parte immaginaria.
Se moltiplichiamo due numeri complessi coniugati tra loro otteniamo:
Qui abbiamo usato la proprietà commutativa: .
La radice quadrata di questa grandezza, sempre positiva, è detta modulo
del numero complesso.
Chiamando e , avremo quindi : .
Il complesso coniugato di , è indicato anche con .
Spesso il modulo è indicato con la lettera r:
DIVISIONE
Leggermente più laboriosa è la procedura per la divisione tra numeri complessi:
Dovendo eseguire ad esempio:
per evitare la complicazione di un denominatore complesso, si sfrutta la proprietà
dei complessi coniugati e si assume che una frazione complessa (come una
frazione algebrica) non vari moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso
numero (complesso).
In questo caso moltiplicheremo numeratore e denominatore per il complesso
coniugato del denominatore:
ottenendo così un denominatore reale, che sappiamo facilmente trattare.
In seguito dimostreremo che è possibile elevare a potenza e estrarre radice dei
numeri complessi e che valgono tutte quelle proprietà (commutativa, associativa,
distributiva) che ci assicurano che i numeri complessi sono numeri a tutti gli effetti.
Definizione formale di numero complesso
Vediamo ora una definizione formale di numero complesso
Definizione: I numeri complessi sono costituiti da coppie ordinate di numeri reali.
Tra tali coppie è definita un' operazione somma:
e un'operazione prodotto:
Date queste definizioni si può facilmente dimostrare che:
L'elemento neutro per la somma è ;
L'elemento opposto di è ;
L'elemento neutro per la moltiplicazione è
Il reciproco di un numero complesso , indichiamolo con , è:
Infatti, detto un numero complesso qualsiasi, e il suo reciproco, si deve
avere , cioè .
Per determinare r ed s basta allora risolvere il sistema
che dà appunto:
Possiamo quindi definire l'operazione divisione come prodotto
I numeri reali sono tutte le coppie del tipo con parte immaginaria nulla.
Tutte le coppie del tipo , cioè con parte reale nulla, rappresentano i numeri
immaginari.
Applicando le definizioni:
l prodotto di due numeri reali è un numero reale
Il prodotto di due numeri immaginari è un numero reale:
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