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Bue vecchio, solco diritto
OTTICA TEORICA
INTRODUZIONE ALL’OTTICA DI FOURIER
ONDE PERIODICHE E SERIE DI FOURIER
Quando si sommano due onde sinusoidali di diversa frequenza come quelle mostrate in basso, succede una cosa interessante. La risultante non è sinusoidale; ciò suggerisce
che selezionando opportunamente contributi armonici di diverse frequenze, ampiezze e fasi si possono produrre onde di forme complicate. Il teorema di Fourier afferma che una funzione f(x) con periodo spaziale può essere concepita come una somma di funzioni armoniche le cui lunghezze d'onda sono sottomultipli interi di (cioè , /2, /3, ecc.). In altre parole, se f(x) è una funzione periodica di lunghezza d'onda , essa può essere rappresentata con una serie di Fourier della forma
dove i termini C sono delle costanti che specificano le ampiezze delle varie funzioni contribuenti. Si noti che sostituendo alla variabile x la variabile x-vt si viene ad avere una onda che si propaga e quindi ciò suggerisce di considerare le perturbazioni non armoniche come somme di onde sinusoidali.
Una formulazione equivalente delle serie sopra introdotte consiste nella rappresentazione più comune in cui figurano seni e coseni.cioè
I coefficienti di ampiezza sono calcolati in base alle seguenti espressioni integrali:
Gli integrali possono essere calcolati su qualsiasi altro intervallo di valore eguale a un periodo. Se la funzione da rappresentare è pari, essa è specularmente simmetrica rispetto all'asse . In questo caso la sua rappresentazione come serie di Fourier contiene solo funzioni pari, cioè solo termini coseno e quindi per ogni valore di m. Se invece la funzione è dispari, se cioè , la serie di Fourier contiene solo funzioni dispari seno; per ogni valore di m. Ovviamente, f(x) in generale non è né pari né dispari e quindi la serie contiene sia termini seno che termini coseno. Si tenga presente che fino a questo punto si è discusso unicamente di onde periodiche estese all'infinito.
1 ) Determinare la rappresentazione in serie di Fourier della funzione periodica che si vede nella figura a lato.
E' evidente che la funzione è dispari cui i termini coseno sono tutti nulli; . I coefficienti si calcolano con la formula
che, sostituendovi i valori effettivi di f(x), diventa
In altre parole
e la serie cercata è
Di passaggio, si ricordi che quando una funzione ha lo stesso andamento sopra e sotto l'asse, la sua rappresentazione in serie contiene solo armoniche dispari, cioè solo multipli dispari di k, detta frequenza spaziale angolare fondamentale. Se la soprastante curva viene ruotata di 180° attorno all'asse x e spostata in avanti di , essa resta immutata; proprietà si dà a volte il nome di simmetria a vite.
2) Sommare graficamente i primi tre contributi alla serie di Fourier dell'onda quadra del precedente problema.
La somma dei primi N termini di una serie di Fourier è detta la sua N-esima somma parziale. Per l'onda quadra la prima somma parziale, è
riportata in figura (a). La seconda somma parziale,
è riportata in figura (b). In essa la terza armonica (di frequenza 3k) ha una ampiezza di solo 0,4. La terza somma parziale,
è rappresentata in figura(c). Si noti che ogni termine della serie è un seno positivo, che quindi sono tutti in fase per x = 0
3) Ricavare la rappresentazione in serie di Fourier della funzione periodica della sottostante figura . Rappresentare graficamente ognuna delle prime sei armoniche, come anche la sesta somma parziale.
La funzione è chiaramente dispari, il che significa che . Nell'intervallo compreso tra e quindi
e quindi
La sottostante figura riporta igrafici delle prime sei armoniche e quello della sesta somma parziale. Si osservi che i segni meno della serie equivalgono a uno sfasamento.
4) La sottostante figura, riporta una funzione periodica, il cui tratto ripetitivo corrisponde alla funzione . Ricavare la serie di Fourier corrispondente.
La funzione è evidentemente pari, per cui e
Si deve anzitutto valutare Ao:
Integrando l'espressione per , si ha
quindi
5) Si consideri un campo elettrico di un'onda elettromagnetica che abbia l'andamento piuttosto insolito rappresentato nella sottostante figura. Si tratta della nota funzione seno raddrizzata ad una alternanza. Ricavare la sua rappresentazione in serie di Fourier
Questa volta la funzione, con l'asse verticale nella posizione indicata, non è né pari né dispari. Si ha
eccetto che per , nel qual caso l'integrale è nullo (cioè, ). Sviluppando,
che è nullo per valori dispari di m e dà
per valori pari di m. Analogamente
che, stanti i limiti di integrazione, è nullo per tutti gli . Quando invece ,
Quindi
6) Si consideri una onda piana di ampiezza che colpisca normalmente una rigatura di Ronchi orizzontale molto estesa. Quest'ultima è un reticolo formato da strisce trasparenti e opache, tutte larghe b, che si alternano tra loro. Il campo elettrico che emerge dal reticolo è una funzione a gradino. Ricavare la sua rappresentazione in serie di Fourier, supponendo che essa si estenda realmente all'infinito.
Nella figura a lato è riportato il campo come visto lungo una verticale che attraversa la rigatura. Ponendo l'origine a metà di un picco, si ha una funzione pari, per cui . Quindi, con ,
Si tenga presente che in questo caso è il periodo spaziale della funzione apertura e non la lunghezza dell'onda incidente. Proseguendo
Di conseguenza, si può pensare che il campo che attraversa l'apertura abbia un contenuto armonico specifico, e precisamente che
Come nel problema 5), la funzione è tutta sopra l'asse x e quindi ha un valore medio non nullo, cioè . In effetti questo significa che per passare da una situazione come quella di figura [A], all’inizio, a quella di questo problema, si deve "sollevare" la funzione includendovi un termine costante .
[A]
7) Ricavare una forma esponenziale complessa della serie di Fourier.
Usando le identità
l'espressione trigonometrica
può essere scritta come
Dopo una serie di passaggi, si ottiene
o
dove
Una espressione ancora più concisa si ottiene introducendo le frequenze spaziali negative, cioè valori negativi di mk, con il che si ha
I coefficienti complessi sono dati per tutti i valori di m da

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