Chi non intende i silenzi, non intende neanche le parole
OTTICA TEORICA
BIRIFRANGENZA
Un materiale è otticamente isotropo se l'indice di rifrazione o, se si vuole, la velocità
di fase di un'onda è la stessa in tutte le direzioni.
Ciò avviene per cristalli cubici come quelli di NaCl e per materiali non cristallini, come
vetro e materiali plastici non soggetti a sollecitazioni, acqua ed aria.
In generale però i cristalli sono anisotropi: le forze atomiche di legame che si esercitano
sulla nube elettronica sono diverse a seconda della direzione e di conseguenza diversi
sono anche gli indici di rifrazione. In questa pagina ci si occuperà solo di cristalli
birifrangenti uniassici (in cui rientrano i sistemi trigonale, esagonale e tetragonale).
Questi cristalli presentano un solo asse di simmetria detto asse ottico e presentano due
indici principali di rifrazione distinti.
Questi corrispondono a oscillazioni del campo ottico parallele e perpendicolari all'asse
ottico. Un esempio di cristalli del genere è la calcite, . Qui i gruppi carbonato
giacciono tutti in piani paralleli normali ad un asse di simmetria temaria, l'asse
ottico. La distribuzione degli atomi è chiaramente anisotropa e tale è anche la loro
reazione alla luce.
Si può individuare il cammino di un fronte d'onda attraverso un mezzo applicando il
principio di Huygens che afferma che in un mezzo omogeneo e isotropo ogni punto
di un fronte d'onda può essere considerato come una sorgente di onde secondarie il cui in
viluppo in un dato istante successivo coincide con l'onda primaria in quell'istante. Le onde
secondarie sono sferiche, e si propagano in tutte le direzioni con la stessa velocità e la
stessa frequenza dell'onda primaria.
In un mezzo materiale si può immaginare che l'onda primaria stimoli gli atomi a
emettere onde secondarie che a loro volta colpiscono lo strato successivo di atomi.
Per vedere come ciò si applica ad un materiale birifrangente uniassico, si esamini la
soprastante figura, che mostra una lamina di calcite tagliata in modo che l'asse ottico
giaccia nel piano del disegno. Nella figura (a) un'onda piana, polarizzata linearmente in un
piano normale alla pagina, colpisce il cristallo. Il campo elettrico è ovunque perpendicolare
all'asse ottico, le onde secondarie sono sferiche e la perturbazione attraversa la lamina
(a velocità
) nella solita maniera : questa è l'onda ordinaria o onda o.
Nella figura (b) il campo elettrico dello stato
incidente giace nel piano del disegno e
perciò ha componenti, parallela e perpendicolare all'asse ottico, che si propagano rispet-
-tivamente a velocità . Nella calcite e si può pensare che le onde
secondarie si allunghino a formare ellissoidi di rotazione attorno all'asse ottico.
L'inviluppo di questi ellissoidi è un fronte d'onda piano che si sposta all'insù attraverso
il cristallo come un'onda straordinaria o onda e. Si noti che il campo E nei mezzi anisotropi
non giace nei fronti d'onda piani.
La soprastante figura (c) mostra come il cristallo divide un raggio incidente non polarizzato
nei suoi stati
costituenti formando due distinti raggi uscenti
In effetti se si vuole che l'asse ottico, l'onda o e l'onda e giacciano in un piano comune
(l'onda o
giace sempre nel piano di incidenza), bisogna che i cristalli siano tagliati in un
dato modo. La calcite si spezza naturalmente formando piani di sfaldatura lisci.
Un cristallo di le cui sei facce siano tutte piani di sfaldatura si dice avere una forma di
sfalda tura , che nel caso particolare corrisponde a un romboedro.
Un piano che contiene l'asse ottico è detto piano
principale. Un piano principale che sia normale a
una coppia di facce opposte della forma di sfaldatura è detto sezione principale,
come indicato nella figura a lato.
I piani principali che contengono i raggi o ed e
coincidono con la sezione principale, come nella
precedente . Si noti che i campi E delle onde o ed e
sono rispettivamente normale e parallelo alla
sezione principale.
Si usa normalmente indicare i due indici principali
di rifrazione di un cristallo uniassico come
.
Nella sottostante tabella sono riportati i valori degli
indici principali di varie sostanze. Si tenga presente
che mentre è sempre la velocità dell'onda o, è la velocità dell'onda e solo quando
l'onda viaggia a 90° con l'asse ottico.
Quando si propagano lungo l'asse ottico sia l'onda 0, sia l'onda e hanno campi normali
a quest'asse e avanzano entrambe alla stessa velocità, . L'indice effettivo di una
onda e che si propaga in una direzione intermedia ha un valore compreso tra .
Indici principali di rifrazione di alcuni
cristalli birifrangenti uniassici (
= 589,3 nm)
Cristallo
Calcite
1,6584
1,4864
Ghiaccio
1,309
1,313
Quarzo
1,5443
1,5534
Rutilio
2,616
2,903
1)
La grandezza è spesso detta birifrangenza. Un materiale è detto
birifrangente uniassico positivo o negativo a seconda del segno di
. Tracciare i
fronti d'onda per onde o ed onde e, supponendo che una sorgente puntiforme sia
immersa in uno o nell'altro di questi tipi di materiali.
E' noto che nella calcite, che è uniassica negativa ,cioè
Oltre a ciò entrambe le onde, o ed e, lungo l'asse ottico si propagano alla
stessa velocità. Ne segue che l'onda sferica o e l'onda ellissoidale e sono tangenti
sull'asse ottico come in figura (a). La velocità massima dell'onda e, cioè , si ha
in una direzione perpendicolare all'asse ottico. La figura (b) si riferisce ad un cristallo
uniassico positivo come il quarzo. In questo caso il che significa che .
Questa volta è la velocità minima dell'onda e ed ancora una volta essa si ha in
una direzione perpendicolare all'asse ottico.
2)
Due lamine parallele di calcite sono tagliate in maniera tale che in una l'asse ottico è
normale alla faccia frontale, mentre nell'altra è ad essa parallelo. Fare uno schizzo
delle onde o ed e in entrambe le lamine e discutere ciò che avviene
Nella lamina di figura (a) le onde secondarie sia sferiche che ellissoidali si spostano
tutte attraverso il cristallo alla velocità Quindi i fronti d'onda o ed e coincidono:
di fatto una sola onda attraversa il cristallo.
Invece in figura (b) si vedono i fronti d'onda e ellissoidali avanzare alla velocità e i
fronti d'onda o sferici avanzare più lentamente alla velocità . Due onde distinte
attraversano quindi il cristallo. In ogni punto dello spazio al di là del cristallo le due
perturbazioni si sovrappongono formando una unica risultante la cui forma dipende
dalla differenza di fase prodotta dall'attraversamento del cristallo .
3)
Nella sottostante figura (a) è rappresentato un polarizzatore divisore d'onda di
Wollaston, formato da due cristalli di quarzo uniti con glicerina. Discutere come
avviene la divisione di un raggio luminoso entrante nel prisma in onde o ed onde e.
[a]
[b]
Si immagini che il raggio entrante sia formato
da due stati
ortogonali non coerenti, uno
parallelo all'asse ottico e uno normale ad esso,
come in figura [b]. Dato che il raggio colpisce
la prima faccia del prisma perpendicolarmente,
non c'è rifrazione, benché ci sia una differenza
di fase come nella precedente figura(b).
Attraversando la interfaccia diagonale, l'onda e
entra nel secondo cristallo dove diventa un'onda
o dato che il suo campo è normale all'asse ottico.
Dato che e per
la legge di Snell il raggio o nel secondo cristallo
devia allontanandosi dalla normale alla
interfaccia. Analogamente l'onda o del primo
cristallo attraversando la interfaccia diagonale
si trasforma in onda e e devia avvicinandosi
alla normale.
L'uso della legge di Snell si basa sul fatto che
nel secondo cristallo l'asse ottico è normale al
piano di incidenza. Di conseguenza nel secondo
cristallo sia l'onda o secondaria che l'onda e secondaria hanno sezioni trasversali
circolari. Generalmente le onde e secondarie hanno sezione trasversale ellittica e
quindi ad esse non si applica la legge di Snell
4)
Un cristallo birifrangente uniassico è tagliato in modo da formare una lamina a facce
parallele con l'asse ottico parallelo alla faccia frontale come in figura (b) dell’esercizio
numero 2, soprastante..
Un sistema del genere è noto come ritardatore o lamina di ritardo. Si supponga
che il suo spessore sia d e si ricavi una espressione che dia la differenza di fase
prodotta dalla lamina tra le onde o e le onde e che la attraversano.
Le lunghezze di cammino ottico percorse dalle onde e ed o sono rispettivamente
La differenza di cammino ottico è quindi dove il simbolo di
valore assoluto è introdotto solo per mantenere positivo. Il numero di lunghezze
d'onda di cui sono sfasate le due onde è dato da
Ogni lunghezza d'onda corrisponde ad uno sfasamento angolare di
radianti e
quindi la differenza di fase è data da
In un cristallo uniassico negativo e la direzione dell'asse ottico del
ritardatore è detta asse veloce. Nel caso di un cristallo positivo avviene il contrario e
l'asse ottico è l'asse lento.
5)
Un raggio di luce di sodio ( = 589,3 nm) collimata cade normalmente su una
lamina di calcite a facce parallele il cui asse ottico è perpendicolare al raggio.
Determinare le frequenze e le lunghezze d'onda delle onde o ed e nella calcite.
Supponendo che la risposta del mezzo sia lineare, come generalmente avviene per
tutte le onde salvo che per quelle molto lunghe, la frequenza non muta quando l'onda
entra nel mezzo. Ne segue che
è la frequenza di entrambe le onde, dentro e fuori della lamina. Per l'onda ordinaria
e per l'onda straordinaria
6)
Calcolare l'angolo (
formato dai raggi o ed e che
escono da un prisma di Wollaston di calcite in cui
l'angolo rifrangente dei cunei sia di 15°.
Come nel precedente problema 3) si può applicare la
legge di Snell alla interfaccia diagonale. Per il raggio e
in uscita si ha
oppure
dove è l'angolo tra la normale all'interfaccia ed il
raggio e nel secondo cristallo. Analogamente per il raggio o
oppure
Quindi e l'angolo formato dai due raggi all'interno del
prisma è I raggi e ed o colpiscono la interfaccia posteriore con
angoli rispettivamente di
Essi escono quindi con angoli rispetto alla normale alla faccia posteriore,dove
Così Ne segue
7)
Data una luce incidente di 590 nm, determinare lo spessore minimo che deve avere
un ritardatore di quarzo se si vuole che sia una lamina quarto d'onda, cioè che la
differenza di fase tra le onde e ed o sia .
Dal soprastante problema 4) si sa che
Dato che deve essere eguale ad un multiplo dispari di
con Lo spessore minimo si ha per m = 0. In tal caso
Quindi
8)
Come indicato nelle precedenti pagine, un raggio di luce polarizzato linearmente il cui
piano di vibrazione sia a 45° può essere trasformato in un raggio polarizzato circolare
facendo in modo che vada avanti o ritardi rispetto a di 90° .
Partendo da ciò progettare un polarizzatore circolare destro, cioè uno strumento che
trasformi la luce naturale in uno stato
.
Il primo passo consiste nell'ottenere uno stato
opportuno. Si parte quindi da un
polaroid o da un altro polarizzatore lineare con asse di trasmissione a 45°. Questo dà
due componenti del campo ortogonali, in fase ed eguali. Per ottenere uno stato
si
deve ritardare rispetto a di radianti. Ciò suggerisce di usare una lamina
quarto d'onda orientata in modo che il suo asse veloce sia parallelo a .
Un dispositivo comune è un polarizzatore lineare a polaroid unito a una lamina
quarto d'onda di alcool polivinilico.
Si noti che in un polarizzatore circolare il lato ingresso e il lato uscita non sono
intercambiabili.
9)
Un raggio di luce quasi monocromatica polarizzata linearmente nella direzione y
cade su una lamina mezz'onda (per la quale cioè ). La lamina viene
ruotata in modo tale che il suo asse veloce formi un angolo di 30° con l'asse y.
Determinare le ampiezze delle componenti secondo gli assi x e y del campo
uscente in funzione dell'ampiezza , dello stato
entrante.
Come precedentemente visto,una variazione di
radianti nella fase fa fare ad uno
stato
un salto eguale a quello che subirebbe se fosse riflesso nell'asse del ritardatore.
Come visto nella sottostante figura dato che il campo è inizialmente a 30°, esso devia
di 30° dalla parte opposta rispetto all'asse veloce. Lo stato uscente è quindi a 60°
dall'asse y. Le ampiezze delle componenti secondo gli assi x e y sono quindi
rispettivamente :
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