C'erano tanti carabinieri: avranno fatto un'arretrata
OTTICA TEORICA
RAPPRESENTAZIONE TRAMITE NUMERI COMPLESSI
LA RAPPRESENTAZIONE TRAMITE NUMERI COMPLESSI
Le espressioni trigonometriche con cui avremo a che fare possono essere notevolmente
semplificate usando gli esponenziali complessi. Si ricordi che un numero complesso z ha la
forma dove ed x e y, sono rispettivamente la parte reale e la parte
immaginaria di z. Si notì' che sia x che y sono numeri
reali. Il numero z può essere scritto anche nella
forma
sfruttando il fatto che , come
risulta immediatamente considerando il diagramma di
Argand di figura. La formula di Eulero
permette allora discrivere
dove A è il modulo e
la fase della grandezza
complessa z. Il complesso coniugato
si ottiene
cambiando il segno davanti a j dovunque esso compare in z. Quindi
e quindi il modulo di z è semplicemente
La moltiplicazione dei numeri complessi diventa particolarmente semplice quando sono
espressi in forma esponenziale. Il prodotto di
e
è semplicemente
Si noti che se si scrive
la parte reale è e la parte immaginaria è dove, naturalmente,
Ne segue che in ogni calcolo si pessono usare gli esponenziali e passare alla fine
alla forma coseno o seno dell'onda prendendo la parte reale o la parte immaginaria della
risposta ottenuta.
1)
Dimostrare che la parte reale del numero complesso z è data da
Dato che , si può scrivere
che è proprio la parte reale di z
2) Dedurre le espressioni
dalla formula di Eulero
Si sostituisca nella formula di Eulero , ottenendo
dato che . Sommando queste due espressioni si ha
mentre sottraendole si ha
La prima formula è equivalente a quella del problema (1; la seconda a
3) Scrivendo la funzione d'onda come , dimostrare che non cambia se si
aumenta o diminuisce la sua fase di
Quando si varia la fase di , la funzione d'onda assume il valore
Ma per la formula di Eulero
Quindi
4) Dimostrare che moltiplicare una funzione d'onda complessa per ±j equivale a far
slittare la sua fase di .
Se , allora .Ma per la formula di Eulero
e quindi
5) Si supponga di avere due onde di ampiezza, velocità e frequenza eguali, che in una
data regione dello spazio si sovrappongono producendo la perturbazione risultante
Usando gli esponenziali complessi dimostrare che
Questa è detta onda stazionaria.
Tenendo presente che siamo interessati solo alla parte reale, si può riscrivere la
funzione d'onda come
ora, per la formula di Eulero
quindi
Dalla seconda formula ottenuta nel problema 2) segue che
e quindi
La parte reale di questa funzione d'onda è
Se si fosse partiti da onde espresse in forma seno, cioè
il procedimento sarebbe stato lo stesso fino all'ultimo passaggio, dove questa volta
si sarebbe assunta la parte immaginaria ottenendo
Si può indicare esplicitamente l'uso della parte reale (Re) o della parte immaginaria (Im)
scrivendo, ad esempio,
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