Il giovane conosce le regole, ma il vecchio conosce le eccezioni
CIRCONFERENZA GEOMETRICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Le nostre definizioni date sopra di Seno e Coseno in
realtà non sono ancora complete.
Ricordiamoci:
Abbiamo introdotto Seno e Coseno come lunghezze
dell'ombra di un bastone inclinato di lunghezza 1,
rispettivamente sotto un raggio di luce verticale
(cos ) e un raggio di luce orizzontale. (sin
).
Lo raffiguriamo nel
disegno qui a fianco,
piazzando un estremo
del bastone (rosso)
nell’origine di un sistema
di coordinate cartesiane
e riportando "le ombre"
(o meglio proiezioni) lungo
gli assi cartesiani.
L'angolo
si misura
relativamente all'asse
orizzontale (delle ascisse)
in senso antiorario.
Vediamo che si può aumentare l' angolo a ruotando il bastone rosso come una
lancetta di orologio (ma in senso antiorario).
La punta della lancetta descrive un cerchio (di raggio 1) detto "circonferenza
goniometrica"
Possiamo ruotare la lancetta, cioè il raggio rosso della circonferenza goniometrica,
anche oltre la linea verticale.
In tal caso la posizione del raggio è descritta, come nella figura a fianco a sinistra,
da un angolo ottuso.
Anche in questo caso possiamo, come sopra, riportare le proiezioni sugli assi
cartesiani e definire così Seno e Coseno per un angolo ottuso
Qui adotteremo la seguente convenzione:
Un segmento orientato verso sinistra oppure verso il basso rispetto all'origine sarà
considerato negativo.
L'angolo rappresentato nell'esempio a sinistra è 131°.
La lunghezza del segmento verde è circa 0.656.
Il Coseno di questo angolo è quindi circa -0.656,
perciò negativo!
Provate voi stessi con l'aiuto di un calcolatore!
Sen(131°) invece è positivo (circa 0.755), poiché
il segmento blu è orientato verso l'alto rispetto all'origine.
Se continuiamo a ruotare il raggio rosso, possiamo rappresentare qualsiasi angolo
fra 0° e 360°, e in tutti questi casi il nostro procedimento ci fornirà un valore
univocamente determinato per il Seno e per il Coseno, indicandoci anche il loro
segno.
Il segno di Seno e Coseno dipende dal quadrante in cui si trova il raggio che
rappresenta l'angolo
(i quadranti dividono il piano cartesiano in quattro parti
delimitate dagli assi che vengono numerate in senso antiorario da
1: " in alto a destra",
2: "in alto a sinistra"
3: "in basso a sinistra"
4: "in basso a destra"
Un segmento orientato verso sinistra
oppure verso il basso rispetto all'origine
sarà considerato negativo.
Possiamo anche continuare a ruotare il raggio, ma non otterremo niente di nuovo:
Un angolo di 370° non è diverso da 10°, per cui anche le funzioni trigonometriche
coincidono,ad es. sin(370°) = sin(10°).
Anche ruotando il raggio in senso inverso e riducendo α fino a raggiungere i numeri
negativi non troveremo niente di nuovo:
Un angolo di -10° non è diverso da 350°, per cui anche le funzioni trigonometriche
coincidono, ad es. sin(-10°) = sin(350°).
Qualsiasi calcolatore o tabella ve lo potrà confermare!
Come mai vogliamo definire Seno e Coseno per qualsiasi angolo, e perché lo
facciamo così?
Soprattutto per scopi pratici.
Angoli fra 90° e 180° (cosiddetti ottusi, mentre quelli fra 0° e 90° sono detti acuti)
sono presenti in molte applicazioni.
E se il raggio rosso è orientato verso destra e inclinato di 1° verso il basso, è molto
più semplice indicare l'angolo con -1° piuttosto che con 359°.
Questa convenzione però ha anche delle conseguenze teoriche.
Ad esempio la somma di due angoli è un angolo. Se sono due angoli (cioè
descrivono due posizioni del nostro raggio), anche sarà un angolo, poiché
abbiamo ammesso qualsiasi valore.
Basterà ricordare che consideriamo identici gli angoli che differiscono di 360° (o di
un multiplo di 360°).
Come vedremo dopo, con l'ausilio della circonferenza goniometrica possiamo
dimostrare una serie di proprietà basilari delle funzioni trigonometriche.
La circonferenza goniometrica è uno strumento importante per la comprensione di
Seno e Coseno .
Una delle proprietà che si ricavano dalla circonferenza goniometrica riguarda il
codominio di Seno e Coseno: I valori di queste funzioni non possono mai essere
minori di -1 o maggiori di 1.
Questo si deduce immediatamente dal fatto che le proiezioni del nostro raggio (di
lunghezza 1) sugli assi non possono essere più lunghe del raggio stesso.
Concludiamo quindi che per qualsiasi angolo si ha
Le funzioni Seno e Coseno sono fra le più importanti funzioni matematiche.
Possiedono varie proprietà che vengono utilizzate sia nelle applicazioni sia nella
matematica pura. Parleremo adesso di alcune di queste proprietà.
ll Teorema di Pitagora
Forse vi stupirete di trovarlo qui. Consideriamo un triangolo
rettangolo, la cui ipotenusa ha lunghezza 1, come mostrato
a sinistra.
Il Teorema di Pitagora ci dice che "in un triangolo rettangolo
la somma dei quadrati (delle lunghezze) dei due cateti
coincide con il quadrato (della lunghezza) dell'ipotenusa".
Applicandolo al triangolo qui a fianco, otteniamo per qualsiasi
angolo a l'identità
Qui è un'abbreviazione per , in parole: "Seno quadrato di ". Questa
formula non è altro che una maniera di esprimere il Teorema di Pitagora. Ci fornisce
una semplice relazione fra Seno e Coseno. Se ad esempio - per un certo angolo -
conosciamo , possiamo dedurre
dove il segno dipende dal quadrante in cui si trova il raggio che rappresenta l'angolo
α nella circonferenza goniometrica (nel primo e nel quarto quadrante +, altrimenti -)
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