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ELETTRONICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Massa
kilogrammo
kg
FLUSSO MAGNETICO, RILUTTANZA, PERMEANZA, HOPKINSON
Flusso magnetico
Si consideri la sottostante figura; un campo magnetico di
induzione B costante, con linee di forza rettilinee e parallele
e si supponga di disporre, perpendicolarmente al campo
stesso, una superficie che abbracci le linee di forza del
campo.
Si definisce flusso magnetico Φ relativo alla superficie considerata il prodotto
dell’intensità del vettore induzione per l’area della superficie perpendicolare alle linee di
campo:
L’unità di misura del flusso magnetico è il weber (Wb); dalla soprastante equazione, si
ha:
e quindi il flusso di 1 Wb si ha quando l’induzione di 1 T interessa la superficie di 1 m2.
Il flusso magnetico è una grandezza che indica, in un certo senso, il numero di linee
di forza (che si possono denominare, a questo punto, anche linee di flusso) che si
concatenano con una superficie normale alla loro direzione. Infatti, supponendo per
convenzione che al valore B = 1 T corrisponda una certa densità di linee di flusso (numero
di linee per unità di superficie), il prodotto Φ = BS indicherà il numero totale di linee
di flusso che interessano la superficie considerata.
L’esame della relazione
porta alle seguenti conclusioni:
•
il flusso magnetico, a parità di superficie, aumenta con l’induzione magnetica, in
quanto sulla superficie interessata si ha una maggiore densità di linee di flusso;
•
il flusso magnetico, a parità di induzione, aumenta con l’area della superficie, in
quanto, a parità di densità di linee di flusso, una superficie maggiore abbraccerà un
maggior numero di linee;
•
a parità di flusso magnetico l’induzione è inversamente proporzionale alla superficie;
nella sottostante figura, le due superfici si concatenano con lo stesso flusso e quindi
dovrà essere B1S1 = B2S2.
Superficie non perpendicolare al vettore
.
Se la superficie piana considerata forma col vettore
un angolo
diverso da 90°
(rierimento alla sottostante figura a)), nella precedente relazione si deve considerare
l’area della superficie che si ottiene proiettandola su un piano perpendicolare a .
Nell’esempio considerato la dimensione a rimane inalterata, mentre la dimensione b
diventa
, come evidenziato nella figura (b.
La nuova superficie sarà pari a
e il flusso magnetico sarà
dato da:
La soprastante espressione è una formula generale, nella quale rientra la già enunciata
elzione come caso particolare (α = 90°; senα = 1); nel caso che sia α = 0° (superficie
parallela alle linee di flusso) si ha Φ = 0, in quanto nessuna linea di flusso si concatena
con la superficie.
Esempio :Una spira elettrica di forma rettangolare, con lati a = 5 cm e b = 10 cm, è posta
in un campo magnetico di induzione B = 0,6 T.
Calcolare il flusso magnetico quando l’angolo α vale: 30°, 45°, 60°, 90°.
La superficie della spira è pari a:
La funzione trigonometrica
vale, nei casi indicati:
Applicando le relazioni conosciute, nei quattro casi si ha:
Come era lecito attendersi, il flusso magnetico maggiore si ha nel caso di spira
perpendicolare al vettore induzione.
Riluttanza e permeanza, legge di Hopkinson
Si consideri un nucleo magnetico costituito da un materiale di permeabilità magnetica
μ, con sezione perpendicolare alle linee di flusso di valore S costante e lunghezza
media l, sul quale è avvolta una bobina di N spire, percorse dalla corrente I.
Nella sottostante figura è stato rappresentato un nucleo toroidale, ma nulla cambia nel
caso di un nucleo di forma diversa.
Il flusso magnetico che si crea nel nucleo è dato da:
Il fattore:
è detto permeanza magnetica del nucleo e dipende dalle
caratteristiche magnetiche del materiale e dalle dimensioni
geometriche del nucleo.
La grandezza reciproca della permeanza, data da:
è detta riluttanza magnetica del nucleo e dipende anch’essa dalle caratteristiche
magnetiche e dalle dimensioni del nucleo stesso.
Apportando le opportune sostituzioni nell’espressione del flusso, si ottengono due
diverse relazioni tra il flusso magnetico nel nucleo e la forza magnetomotrice del
circuito magnetizzante, che esprimono ambedue, in forma matematica, la legge di
Hopkinson dei circuiti magnetici:
Dalla seconda espressione si deduce che la riluttanza è una grandezza che indica
l’opposizione di un nucleo magnetico a farsi magnetizzare; infatti, all’aumentare di
diminuisce il flusso magnetico prodotto da una data f.m.m. e quindi, se è costante S,
diminuisce l’induzione B. L’aumento di
implica la diminuzione di
e quindi la
permeanza magnetica è una grandezza che indica la facilità di magnetizzazione di
un nucleo magnetico; essa rappresenta, per la prima relazione], il valore del flusso
magnetico per unità di f.m.m. Entrambe queste grandezze sono legate alla permeabilità
magnetica e alle dimensioni del nucleo. In particolare, dall’esame delle espressioni di
definizione di
e di si deduce che:
•
all’aumentare di μ la permeanza aumenta e la riluttanza diminuisce, in accordo con
il significato di permeabilità, che indica proprio la facilità di magnetizzazione di un
materiale magnetico;
•
all’aumentare di S la permeanza aumenta e la riluttanza diminuisce, in quanto, a
parità di altre condizioni, il flusso magnetico aumenta;
•
all’aumentare di l la permeanza diminuisce e la riluttanza aumenta, dato che
diminuisce, a parità di f.m.m., la forza magnetizzante H = Fm/l agente sul nucleo.
La legge di Hopkinson consente di stabilire un’analogia tra circuiti magnetici ed elettrici,
secondo la seguente corrispondenza:
flusso Φ
corrente I
f.m.m. Fm
tensione V
riluttanza
resistenza R
permeanza
conduttanza G
legge di Hopkinson Φ = Fm = Fm/
legge di Ohm I = GV = V/R
Per questa ragione la legge di Hopkinson è detta anche legge di Ohm magnetica.
Unità di misura
Per definire in modo appropriato l’unità di misura della permeanza e della riluttanza
si può partire dalla seguente relazione, che verrà chiarita nel capitolo seguente,
quando si troverà un legame tra la tensione indotta in un circuito e la variazione del flusso
magnetico che lo interessa.
da cui:
dove per la f.m.m. è stato usato l’ampere e non l’amperspire, dato che il numero di
spire è, in realtà, adimensionato ed è stata introdotta una nuova unità di misura,
l’henry (H), pari a: 1 H = 1 Ω × 1 s.
Per la riluttanza, essendo
= 1/
, si avrà:
Quanto sopra consente anche di giustificare l’uso dell’henry su metro come unità di
misura della permeabilità; essendo si ricava infatti:
Esempio: Un nucleo di forma toroidale, con sezione circolare, è costituito da materiale
ferromagnetico che presenta una permeabilità relativa pari a 1500 quando
l’intensità del vettore induzione è di 1 T.
Il toroide ha diametro interno 16 cm e diametro esterno 20 cm.
Calcolarne la permeanza e la riluttanza; calcolare, inoltre, il flusso magnetico e
la f.m.m. necessaria per ottenere B = 1 T
Rappresentando il nucleo in sezione, si ottiene il disegno di figura,
nel quale sono evidenziati il diametro interno Di , quello esterno De,
il diametro medio Dm corrispondente alla linea di forza centrale, e
il diametro d della sezione del nucleo, perpendicolare alle linee di
forza. Con semplici relazioni geometriche si ottiene:
La permeabilità del nucleo magnetico è pari a:
Con le espressioni conosciute, si calcolano la permeanza e la riluttanza:
Il flusso magnetico nel nucleo è pari a:
La f.m.m. necessaria a produrre l’induzione di 1 T si ricava, con la legge di
Hopkinson, mediante la formula inversa della relazione enunciata:
Questo valore, pari anche a NI, serve poi per dimensionare la bobina magnetizzante.
Esempio: Ripetere il precedente esempio nel caso che il nucleo toroidale sia costituito da
materiale non ferromagnetico, con μ = μ0
Le dimensioni geometriche del nucleo non cambiano, mentre per le altre grandezze si ha:
Dai risultati ottenuti si vede che, a causa della minore permeabilità, la permeanza è
diminuita e la riluttanza è aumentata; il flusso magnetico è rimasto costante, ma la f.m.m.
necessaria per ottenerlo è aumentata.
Se si eseguono i calcoli di confronto si vedrà che gli aumenti e le diminuzioni sono proprio
in rapporto 1:1500, che è il valore della permeabilità relativa.
Esempio:
Mediante un flussometro (strumento per misurare il flusso magnetico) e un
amperometro sono stati misurati i valori Φ = 2 mWb nel nucleo magnetico di un
solenoide e I = 5 A nella bobina magnetizzante, composta da 500 spire.
Calcolare la riluttanza e la permeanza del circuito magnetico.
Dalla legge di Hopkinson scritta come formula inversa:
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