Ero un bambino, cioè uno di quei mostri che gli adulti fabbricano con i loro rimpianti
ELETTRONICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Massa
kilogrammo
kg
FENOMENI TRANSITORI NEI CIRCUITI CAPACITIVI
Transitorio di scarica di un condensatore
Si consideri (figura a) un condensatore di capacità C, carico
con tensione iniziale V0 e quindi avente un’energia elettro-
-statica W0. Se il condensatore viene collegato con un
resistore R, inizia il processo di scarica del condensatore
stesso (figura b) e nasce una corrente i, in senso opposto a
quella che si aveva durante la carica. Il condensatore si
comporta come un “generatore temporaneo”, nel senso che
la circolazione di corrente è sostenuta dalla tensione vc ed
è il condensatore che fornisce energia al circuito esterno,
energia che viene dissipata per effetto Joule nel resistore.
Dato che nel condensatore, a differenza di un vero genera-
-tore, non vi è alcun processo di trasformazione in grado di
produrre continuamente energia, si andrà verso l’esaurime-
-nto di quella disponibile e il conseguente annullamento
della corrente (figura c).
Si comprende, pertanto, che anche il processo di scarica è un fenomeno transitorio
che, nei circuiti in corrente continua, non permane nel tempo.
La corrente e la tensione sul condensatore sono legate tra loro dalla legge di Ohm,
applicata al circuito di figura b:
e, quindi, man mano che la corrente tende a zero, anche la tensione tenderà ad annullarsi.
Tenendo presente lo studio del fenomeno di carica, si possono fare le seguenti osservazioni:
•
la tensione sul condensatore partirà dal valore iniziale Vo e tenderà al valore finale
Vf= 0, con un decadimento esponenziale;
•
la corrente nel circuito di scarica partirà dal valore iniziale Io= Vo/R e tenderà al
valore finale If= 0, anch’essa con legge esponenziale decrescente;
•
il verso della corrente sarà opposto a quello che aveva durante la carica;
•
la costante di tempo del processo è ancora data da τ = RC, dove R è la resistenza
del circuito di scarica e può non avere lo stesso valore della resistenza di carica;
•
la durata pratica del processo di scarica è ancora pari a 4,6 τ, istante nel quale la
tensione sul condensatore sarà uguale all’1% di quella iniziale.
L’espressione analitica delle forme d’onda della tensione e della corrente si possono ricavare
da quelle generali viste nella precedente pagina, considerando nulli i valori finali; si
ottengono le funzioni:
i cui grafici sono rappresentati nelle figure (1) e (2). Quando si vuole evidenziare
che la corrente di scarica è opposta a quella di carica, assunta come riferimento
positivo, il relativo grafico viene invertito, come nella figura (3)
Si consideri il circuito di figura s sinistra, in cui
un condensatore carico con tensione Vo viene
collegato a un bipolo attivo di tensione, con
f.e.m. E < Vo. Dato che la tensione del
condensatore prevale su quella del generatore,
nascerà una corrente i nel verso indicato,
data da:
essendo vc il valore di tensione sul condensatore nell’istante considerato.
Per effetto di questa corrente il condensatore si scaricherà e il bipolo attivo funzionerà da
utilizzatore attivo, con la corrente entrante nel morsetto “+”. Il fenomeno proseguirà fino
all’equilibrio tra le due tensioni e, quindi, il valore finale di vc sarà pari a E, come indicato
sul sottostante grafico, la cui espressione matematica rientra nella formula generale.
La corrente partirà dal valore iniziale:
e tenderà a zero, con l’andamento di figura (2) o (3), a
seconda del segno che si considera.
Esempio: Un condensatore di capacità 1 μF e V0 = 50 V viene collegato con un resistore
avente R = 2,5 kΩ. Calcolare la carica sul condensatore all’istante t1 = 6 ms
La costante di tempo del circuito di scarica è data da:
Usando la già vista relazione, si calcola la tensione V1 all’istante considerato
La carica corrispondente è data da:
Esempio: Ripetere l’esempio precedente supponendo che il condensatore, carico con
V0 = 50 V, venga collegato con un bipolo attivo di tensione avente R = 2,5 kΩ
ed E = 25 V.
La costante di tempo è la stessa del precedente esempio. In questo caso il condensatore si
scarica parzialmente, tendendo al valore finale Vf= 25 V. Usando l’espressione generale,
si ottiene:
La carica Q1 è pari a:
Risoluzione di reti capacitive nel periodo transitorio
Per risolvere una rete contenente condensatori, durante il periodo transitorio di carica e
scarica degli stessi, bisogna tener conto che le grandezze elettriche (tensione e corrente)
nei lati capacitivi non sono costanti, ma variano nel tempo con legge esponenziale.
È particolarmente importante calcolare tre elementi caratteristici di tali grandezze: il
valore iniziale, il valore finale e la costante di tempo, note le quali si ricavano le leggi
di variazione delle tensioni o delle correnti mediante le note formule generali.
Occorre inoltre tener presente la durata del funzionamento: se il condensatore resta
collegato al circuito di carica o di scarica per un tempo non inferiore a 4,6τ, si può
considerare che la corrente e la tensione siano arrivate ai valori di regime, altrimenti
occorre calcolarne i valori nell’istante in cui il condensatore viene scollegato dal circuito.
Per quanto riguarda gli altri elementi della rete, occorre valutare se il loro comportamento
sia oppure no influenzato direttamente dai condensatori: per esempio la corrente in un
resistore collegato in parallelo a un condensatore, essendo data da i = Vc/R, sarà diret-
-tamente proporzionale alla tensione sul condensatore e, pertanto, ne seguirà l’andamento.
I seguenti esempi hanno lo scopo di chiarire quanto precedentemente esposto
Esempio: Nel circuito della sottostante figura, il condensatore è inizialmente scarico.
Determinare il valore e l’andamento nel tempo della corrente i2 prima e dopo la
chiusura del tasto T, supponendo che il condensatore resti poi collegato al circuito
per un tempo superiore a quello di assestamento.
Con il tasto T aperto, in R2 circola una corrente costante nel tempo, pari a:
Alla chiusura del tasto T inizia la carica del condensatore, per studiare la quale è
conveniente ridurre la rete resistiva al suo generatore equivalente di Thevenin, ottenendo:
Il circuito equivalente è riportato nella figura a destra.
La tensione sul condensatore aumenterà esponenzia-
-lmente, da zero fino al valore Vf= Eth = 48 V, con
costante di tempo pari a:
e quindi la sua legge di variazione nel tempo è data da:
Nel periodo transitorioil condensatore è in parallelo con R2 e quindi la tensione su R2
seguirà là la stessa legge di variazione; di conseguenza, la corrente i2 sarà data da:
La corrente aumenterà esponenzialmente, partendo dal valore zero e tendendo al
valore finale 10 mA, esattamente uguale a quello che aveva prima della chiusura del
tasto. Il grafico della sottostante figura, mostra l’andamento nel tempo della corrente;
l’istante zero del grafico corrisponde a quello di chiusura dell’interrutore.
Esercizio: La sottostante rete, contenente un condensatore inizialmente carico con
tensione V0 = 30 V, funziona nel seguente modo:
•
dall’istante t = 0 all’istante t1 = 3 τ1 l’interruttore T1 è chiuso e T2 è aperto (τ1 :
costante di tempo del circuito di carica);
•
dall’istante t1 in poi l’interruttore T1 è aperto e T2 è chiuso.
Determinare l’andamento nel tempo della tensione e della corrente nel lato capacitivo.
Determinare, inoltre, gli andamenti delle correnti nei resistori R3e R4
Primo periodo di funzionamento
Riducendo al generatore equivalente di Thevenin la parte di rete a sinistra del
condensatore, si ha:
Il circuito equivalente corrispondente al primo periodo di funzionamento è mostrato
nella sottostante figura:
Durante questo periodo il condensatore si carica, essendo ETh > Vo .
Le grandezze caratteristiche della legge esponenziale di carica sono pari a:
Mediante la conosciuta espressione, si ricava la legge di variazione della tensione:
La carica non è però completa, dato che il primo periodo di funzionamento dura per
un tempo t1= 3τ1, minore di quello necessario per considerare raggiunte le condizioni
di regime.
L’effettivo valore finale della tensione sarà pertanto dato da:
La corrente di carica diminuirà esponenzialmente, partendo dal valore iniziale Io e
tendendo a zero; le grandezze caratteristiche della legge di variazione sono date da:
Utilizzando la nota espressione, si ricava la relativa legge di variazione:
l valore della corrente di carica, al termine del primo periodo di funzionamento, è
dato da:
Secondo periodo di funzionamento
Il circuito relativo a questa fase è mostrato nella figura
alla tua destra.
Il condensatore si scarica completamente, partendo
dalla tensione V1 che aveva precedentemente assunto
durante la carica; le grandezze caratteristiche della
legge di variazione della tensione saranno quindi pari a:
La legge esponenziale di scarica è la seguente:
La corrente nel ramo A-B ha verso di percorrenza opposto a quello di carica e decresce
esponenzialmente fino a zero, con la seguente legge:
dove 0,115 A è il valore iniziale e il segno “–” indica il cambiamento di verso.
Grafici di vc e i
Le sottostanti figure, mostrano gli andamenti qualitativi della tensione e della corrente
durante tutto il funzionamento del circuito.
Si può notare che la corrente subisce una brusca variazione nell’istante t1 di commuta-
-zione degli interruttori, mentre la tensione non presenta salti del genere.
Correnti in R3 e in R4
Osservando il circuito iniziale, si può osservare che:
• nel primo periodo di funzionamento la corrente in R3 coincide con la corrente di carica
nel lato A-B, mentre nel secondo periodo è nulla (T1 aperto);
• nel primo periodo di funzionamento la corrente in R4 è nulla (T2 aperto), mentre nel
secondo periodo essa coincide con quella di scarica nel lato A-B.
I grafici delle due correnti sono riportati nelle sottostanti figure:
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