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ELETTRONICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Massa
kilogrammo
kg
MISURA DELLE GRANDEZZE FONDAMENTALI
L’attività di laboratorio è di fondamentale importanza nello
studio dell’Elettrotecnica e dell’Elettronica:
essa permette non solo di misurare i valori che assumono le
varie grandezze elettriche durante il funzionamento di un
circuito, ma anche di verificare sperimentalmente le leggi che
legano tali grandezze, sia come conferma dello studio teorico
che come anticipazione dello stesso.
In queste pagine, dopo aver introdotto gli aspetti generali della
misurazione, verranno presentati alcuni metodi di misura delle
principali grandezze elettriche
Concetto di misura
È noto che misurare una grandezza significa associare alla stessa un valore,espresso con una
appropriata unità di misura; tale valore indica il rapporto che lega quantitativamente la
grandezza in esame con un’altra, della stessa specie, assunta comeunità di misura.
Dire, per esempio, che la lunghezza misurata tra due punti di una pista di atletica vale 100 m
significa:
•
avere scelto il metro come unità di misura della lunghezza;
•
avere a disposizione un campione di lunghezza unitaria 1 m;
•
avere stabilito che questa unità di misura è contenuta 100 volte nella grandezza da
•
misurare e che, quindi, il rapporto grandezza/campione vale 100.
È chiaro che il confronto ha significato solo se la grandezza e il campione sono omogenei;
nell’esempio precedente sono ambedue delle lunghezze.
Affinché misure fatte su grandezze della stessa specie siano tra loro confrontabili, è neces-
-sario che vengano espresse tutte nella stessa unità di misura: è evidente, per esempio, che
di due lunghezze, una in metri e l’altra in miglia, non si riesce a stabilire immediatamente
qual è la maggiore, ma occorre prima effettuare la conversione dei metri in miglia o viceversa.
Per questa ragione è stato introdotto il Sistema Internazionale (SI) delle unità di misura,
descritto nella opportuna scheda , alla quale si rimanda.
Le misure, in funzione del metodo utilizzato, possono essere divise in due differenti categorie:
•
sono dette misure dirette quelle in cui la grandezza da misurare viene direttamente
letta sullo strumento utilizzato, come, per esempio, la misura di una temperatura con
un termometro, quella di una tensione con un voltmetro ecc.;
•
sono, invece, misure indirette quelle in cui la grandezza da misurare viene dedotta
dalla misura di altre grandezze (almeno due), utilizzando una relazione nota;
sono, per esempio, indirette la determinazione dell’area di un rettangolo di cui sono
stati misurati i lati e quella di una resistenza ricavata dal rapporto tra la misura della
tensione e quella dell’intensità di corrente
Errori di misura e loro classificazione
Si supponga di aver misurato una generica grandezza X e di conoscerne, quindi, il
valore misurato Xm.
Su ogni misurazione gravano però degli errori di misura, di diverso tipo, dovuti alla stru-
-mentazione usata, al metodo di misura, all’operatore che ha eseguito la misura.
L’errore commesso in quella particolare misura non è noto, però si può valutare un intervallo
di incertezza Δx, di ampiezza tale da poter ritenere che il valore effettivo della grandezza
misurata sia compreso tra i valori limite Xm− Δx e Xm+ Δx.
Si potrà allora dire che il risultato della misura è dato da:
Per esempio, scrivere che una tensione vale V = (24 ± 0,5) V significa che la
tensione in oggetto ha un valore compreso tra 23,5 V e 24,5 V, con una incertezza
valutata, al massimo, in ± 0,5 V.
Nella teoria degli errori si fa spesso riferimento al valore vero di una grandezza, rispetto
al quale: si definisce come errore assoluto la differenza:
È da notare che il valore vero di una grandezza è un concetto solo teorico, in quanto tale
valore non è misurabile e, quindi, non si può conoscere; la soprastante espressione non
si può, pertanto, utilizzare in modo diretto, per calcolare l’errore, ma occorre conoscere
per poter ricavare la grandezza:
che non è da intendere come valore vero della grandezza, ma come risultato X della
misura, conseguente a un errore valutato, al massimo, pari a .
Da quanto detto e confrontando tra loro le espressioni enunciate, risulta che l’incertezza Δx
e l’errore assoluto
hanno lo stesso significato, con la differenza che Δx è da intendere
sempre positivo, in quanto viene sommato e sottratto a Xm , mentre
è una grandezza
con segno. Da come è stato definito, l’errore assoluto è:
• positivo, se la misura è stata fatta in eccesso (Xm> Xv);
• negativo, se la misura è stata fatta in difetto (Xm < Xv).
L’errore assoluto viene sempre espresso nella stessa unità di misura della grandezza
a cui si riferisce.
Un esempio a tal riguardo : Si supponga di aver misurato la corrente Im = 10 A commet-
-tendo un errore assoluto sicuramente positivo e non superiore a εa = 0,5 A.
Il valore della corrente sarà compreso tra i valori limite 10 A (corrispondente a un errore
nullo) e 9,5 A (corrispondente al valore massimo dell’errore).
Se 0,5 A è invece da considerare come incertezza sulla misura, allora il valore effettivo della
corrente sarà compreso tra 9,5 A e 10,5 A.
Nel caso in cui non sia possibile conoscere il segno dell’errore assoluto commesso,
non vi è più alcuna differenza numerica sul risultato della misura. Se εa= ± 0,5 A, si
ha infatti:
come nel caso in cui 0,5 A rappresenta il valore dell’incertezza.
Spesso è importante riferire l’errore assoluto al valore misurato; è evidente, infatti, che un
errore di 10 cm è poco significativo se la lunghezza misurata è molto più grande
(per esempio 10 km), mentre incide molto di più se il valore misurato è più piccolo (per
esempio 10 m).
Il rapporto:
è detto errore relativo.
Esso è un numero adimensionato. essendo il rapporto di due grandezze omogenee,
ed è tanto minore quanto più piccolo è l’errore assoluto e maggiore è il valore
misurato.
Si definisce come errore relativo percentuale il valore percentuale dell’errore
relativo,
dato da
Sia l’errore relativo che quello percentuale sono indici di qualità della misura, nel
senso che quanto più il loro valore è ridotto tanto più la misura è precisa
Un esempio: Si supponga di aver misurato le due tensioni Vm1 = 10 V con un errore
assoluto εa1 = 0,5 V e Vm2 = 50 V con un errore assoluto εa2 = 1 V.
Si calcolino i rispettivi errori relativi e percentuali.
Applicando le espressioni appena enunciate, si ottiene
Si può notare che la seconda misura è più precisa della prima, pur se l’errore
assoluto è maggiore.
Gli errori che si commettono nella esecuzione di una misura possono essere
classificati, in base alle cause che li determinano, in:
•
errori sistematici;
•
errori accidentali;
•
errori soggettivi
Gli errori sistematici dipendono dal sistema di misura usato; rientrano in questo gruppo
gli errori legati alla precisione degli strumenti utilizzati e quelli derivanti dalle variazioni
circuitali prodotte dall’inserzione degli apparecchi di misura, aventi una loro resistenza
elettrica che va ad aggiungersi a quelle proprie del circuito.
Gli errori sistematici si ripercuotono sul risultato della misura sempre nello stesso senso e,
pertanto, non possono essere compensati facendo la media dei risultati di più
determinazioni. Scegliendo in modo opportuno il sistema di misura e gli strumenti, tali
errori si possono ridurre e, conoscendone il massimo valore che possono assumere, se
ne può tenere conto nell’espressione del risultato della misura.
Gli errori accidentali sono quelli non prevedibili e sono sostanzialmente dovuti alle
condizioni ambientali in cui si svolge la misura. Le cause di perturbazione sono varie:
le più comuni riguardano l’influenza dei campi magnetici ed elettrici esterni sul circuito
di misura e la variazione delle caratteristiche delle apparecchiature per cause termiche.
Gli errori accidentali sono di difficile valutazione, però si possono contenere entro limiti
tollerabili utilizzando strumenti poco sensibili ai disturbi indotti dall’esterno e se ne può
tenere conto con operazioni statistiche effettuate sui risultati di una serie di determina-
-zioni della stessa grandezza.
Gli errori soggettivi sono quelli dovuti all’operatore che esegue la misura, il quale può
commettere degli errori di lettura, per motivi vari legati a disattenzione, stanchezza o
altro. Utilizzando strumenti analogici, per i quali la lettura è indicata dalla posizione
dell’indice su una scala, si possono commettere errori di apprezzamento, quando l’indice
si ferma in una posizione intermedia tra due tacche adiacenti della scala, ed errori di
parallasse, quando si guarda in direzione diversa rispetto alla perpendicolare alla scala
passante per l’indice; mediante opportuni accorgimenti costruttivi questo tipo di errore
può essere eliminato, mentre quello di apprezzamento può essere ridotto utilizzando
scale con un maggior numero di divisioni.
Caratteristica degli errori soggettivi è quella di non avere un segno proprio ben
determinato, ma di influire in modo casuale sul risultato della misura. Eseguendo più
letture è probabile che gli errori in più e in meno si compensino e, pertanto, dalla
media dei vari risultati si può ottenere un valore più attendibile della grandezza in esame,
rispetto a quello relativo a una sola lettura. Sotto questo aspetto gli errori soggettivi si
comportano come accidentali.
Errore nella misura indiretta di una grandezza
Quando una grandezza viene dedotta dalla misura di altre grandezze secondo una
relazione nota, è necessario saper valutare quale sarà l’errore risultante, in funzione
degli errori da cui sono affette le grandezze che compaiono nella relazione. Questo
succede, per esempio, quando si valuta la potenza come prodotto P = VI, supponendo di
avere misurato la tensione e la corrente.
Si considererà, per semplicità, solo il caso in cui le grandezze di partenza sono due; le
espressioni ottenute si possono comunque estendere a casi più complessi.
Indicando con X e Y le grandezze di partenza, con Xm e Ym i loro valori misurati e
con i relativi errori assoluti, i valori che risultano dalla misura, considerati
con l’errore, sono calcolabili con :
Gli errori relativi saranno dati da:
Ricavando gli errori assoluti e sostituendo, si ottiene:
Errore risultante dalla somma
Indicando con S la grandezza misurata indirettamente come somma di X e Y, si
ottiene:
Confrontando questa espressione con , si ricava il valore misurato della
somma, che è dato da:
mentre l’errore assoluto è pari a:
Si deduce pertanto la seguente regola:
l’errore assoluto commesso nella misura indiretta di una grandezza somma di
due o più grandezze è pari alla somma dei singoli errori assoluti.
Nell’applicazione dell’ultima formula si deve tener presente che l’errore assoluto
è una grandezza con segno: la situazione più sfavorevole si ha quando i due errori
hanno lo stesso segno, nel qual caso i loro valori assoluti si sommano.
Per calcolare l’errore relativo sulla somma si applica la definizione, ottenendo:
Esprimendo gli errori assoluti in funzione di quelli relativi, si ha:
Questa espressione indica che:
l’errore relativo sulla somma è pari alla media ponderale degli errori relativi
commessi sulle grandezze componenti.
Il fatto che la media sia di tipo ponderale significa che i singoli errori influiscono
proporzionalmente al valore della grandezza corrispondente e, quindi, l’errore sul
termine di valore più elevato influisce maggiormente sull’errore risultante; di conse-
-guenza occorre misurare con più accuratezza i termini della somma di valore maggiore.
Moltiplicando per 100 ambedue i membri della suddetta felazione e tenendo presente
che 100εr = εr%, si ottiene la stessa relazione valida per l’errore relativo percentuale.
Ancora un esempio: La tensione su un bipolo costituito da due bipoli in serie viene
calcolata come somma delle tensioni sui bipoli componenti.
Supponendo che i valori misurati siano V1m = 2 V con errore relativo εr1% = 5% e
V2m = 12 V con errore relativo εr2% = 0,5%, calcolare l’errore relativo e assoluto
sulla tensione somma.
Il valore misurato della tensione risultante è dato da:
Applicando la formula relativa alla somma con i valori relativi percentuali si ottiene
immediatamente l’errore relativo percentuale
valore assai più vicino al secondo errore, corrispondente al termine maggiore, che al
primo.
L’errore assoluto si può calcolare direttamente sulla tensione risultante oppure
applicando la nota relazione, dalla quale si ottiene, infatti
Errore risultante dalla differenza
Indicando con D la grandezza misurata indirettamente come differenza di X e Y, si
ottiene:
Confrontando questa espressione con la , si ricava il valore misurato della
differenza, che è dato da:
mentre l’errore assoluto sulla differenza è pari a:
Si deduce pertanto la seguente regola:
l’errore assoluto commesso nella misura indiretta di una grandezza differenza di
due grandezze è pari alla differenza dei singoli errori assoluti.
Anche nell’applicazione della formula sull’errore assoluto si deve tener presente che
l’errore assoluto è una grandezza con segno: la situazione più sfavorevole si ha quando
i due errori hanno segno opposto, nel qual caso i loro valori assoluti si sommano.
Per calcolare l’errore relativo sulla differenza si applica la definizione, ottenendo
Questa espressione mostra che la situazione più sfavorevole si ha quando i due errori
relativi hanno segno opposto e i valori misurati Xm e Ym non sono molto diversi tra loro;
in questo caso i termini al numeratore si sommano e il valore del denominatore tende
ad annullarsi, facendo aumentare l’errore relativo risultante.
Moltiplicando per 100 ambedue i membri della soprastante relazione e tenendo presente
che 100εr = εr%, si ottiene la stessa relazione valida per l’errore relativo percentuale.
Esempio: Si determini la corrente in un bipolo come differenza tra le correnti circolanti
in altri due bipoli, collegati allo stesso nodo. Le correnti misurate e i relativi errori
assoluti sono pari a: Im1 = 5 A, Im2 = 4 A, εa1 = – 0,1 A, εa2 = + 0,12 A.
Calcolare l’errore assoluto e relativo percentuale sulla corrente risultante.
Il valore misurato della corrente risultante è dato da:
Applicando la si calcola l’errore assoluto sulla differenza:
L’errore relativo percentuale si può calcolare direttamente, ottenendo:
Il valore dell’errore relativo percentuale sulla corrente differenza è notevolmente
maggiore di quelli commessi sulle correnti componenti, a causa dei valori abbastanza
vicini tra loro delle correnti misurate.
Errore risultante dal prodotto
Indicando con P la grandezza misurata indirettamente come prodotto di X e Y, si
ottiene:
Si ricava il valore misurato del prodotto, che è dato da:
mentre l’errore assoluto è pari a:
Nell’espressione precedente il prodotto tra i due errori assoluti è trascurabile rispetto
agli altri due termini e quindi si può ritenere, con sufficiente approssimazione,
che sia:
L’errore relativo sul prodotto è dato da:
I due termini al secondo membro dell’espressione precedente rappresentano gli
errori relativi sui singoli fattori, quindi:
Questa espressione stabilisce la seguente regola:
l’errore relativo su una grandezza misurata indirettamente come prodotto di altre
grandezze componenti è pari alla somma algebrica degli errori relativi commessi sui
singoli fattori.
Moltiplicando per 100 ambedue i membri della ultima relazione, si ottiene la stessa
relazione valida per l’errore relativo percentuale.
Come conseguenza della regola precedente si ha che:
•
la situazione più sfavorevole si ha quando tutti gli errori hanno lo stesso segno, nel
qual caso i valori assoluti dei singoli errori si sommano;
•
la probabilità di commettere un errore elevato cresce all’aumentare del numero dei
fattori, dato che aumenta il numero di errori da sommare, errori che potrebbero
essere tutti di segno concorde.
Ad esempio: Si vuole determinare la potenza P di un circuito, misurando la tensione e
la corrente.
I valori ottenuti dalle prove sono pari a 25 V con errore 1,3% e 2 A con errore 0,7%.
Calcolare l’errore assoluto e relativo sulla potenza.
Il valore della potenza risultante dalle misure è dato da
Gli errori assoluti commessi sulla tensione e sulla corrente sono pari a
Applicando l’espressione già vista, si ricava l’errore assoluto sulla potenza:
Il calcolo dell’errore relativo percentuale si può eseguire con la relazione sull’errore
relativo sul prodotto, si ottiene:
Errore risultante dal quoziente
Indicando con R la grandezza misurata indirettamente come rapporto tra X e Y, si
ottiene:
Indicando con Rm il valore del rapporto derivante dalle misure, l’espressione precedente
diventa:
Partendo dalla definizione di errore assoluto si ricava:
ed infine:
Dividendo entrambi i membri per Rm si ottiene l’espressione dell’errore relativo:
Normalmente l’errore relativo εrY è molto minore di 1 e, quindi possiamo scrivere, con
sufficiente approssimazione, nel seguente modo semplificato:
Dalle soprastanti espressioni si deduce che l’errore risultante sul rapporto dipende dalla
differenza algebrica degli errori sulle grandezze componenti e, quindi, la situazione più
sfavorevole si ha quando i due errori hanno segno discorde, nel qual caso i loro valori
assoluti si sommano.
Per trovare l’errore relativo percentuale basta moltiplicare per 100 le espressioni già
osservate
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