Chi dà per cortesia, dà con allegria
ELETTRONICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Massa
kilogrammo
kg
BIPOLI COLLEGATI A STELLA E A TRIANGOLO
Resistori collegati a stella e a triangolo
Nei precedenti paragrafi era stato già anticipato che vi sono
dei collegamenti tra bipoli non riconducibili a quelli in serie e
in parallelo, portando come esempio la rete a
ponte, indicata nella figura sotostante:
Dal suo esame si vede che i bipoli 1, 3 e 4 hanno un terminale in comune (nodo B)
e gli altri collegati a tre nodi distinti (nodi A, C, D); lo stesso collegamento è
riscontrabile per i bipoli 2, 3 e 5.
Considerando invece i bipoli 1, 2, 3, si vede che essi costituiscono un circuito
chiuso a tre lati, i cui vertici sono collegati a tre nodi della rete (A, B, C); lo stesso
tipo di collegamento si ha anche per i bipoli 3, 4, 5.
Nel caso di tre bipoli resistivi si possono introdurre i due seguenti tipi di
collegamento tra resistori:
•
collegamento a stella, quando i resistori hanno tre dei loro terminali uniti assieme
a creare il centro stella O e gli altri tre sono connessi a tre diversi nodi della rete,
come indicato nelle sottostanti figure a, b, c;
Esempi di resistori
collegati a stella.
•
collegamento a triangolo, quando i resistori hanno i terminali connessi uno di
seguito all’altro a formare un circuito chiuso a tre lati (triangolo), i cui vertici sono
collegati a tre diversi nodi della rete, come indicato nelle seguenti figure a, b, c
Esempi di resistori
collegati a triangolo.
Nella valutazione del tipo di collegamento occorre fare bene attenzione ai nodi:
nello schema a stella ( c ), per esempio, se al punto B non fosse collegato alcun
altro bipolo, lo stesso non sarebbe un nodo e quindi il collegamento sarebbe di tipo
serie-parallelo (RAB in serie con RBC e il complesso in parallelo con RCA).
Per la risoluzione delle reti resistive occorre spesso sostituire a un gruppo di resistori
a stella l’equivalente gruppo collegato a triangolo o viceversa; tale sostituzione è
corretta se i due gruppi sono equivalenti, ossia se il regime di funzionamento della
rete resta invariato.
Per ricavare le relazioni che consentono di trasformare un collegamento a stella in
uno equivalente a triangolo e viceversa, rispettando il principio precedentemente
esposto, occorre che la resistenza equivalente valutata rispetto alla medesima
coppia di morsetti sia la stessa per il collegamento a stella e per quello a triangolo.
Considerando, per esempio, la coppia di morsetti A-B, le corrispondenti resistenze
equivalenti possono essere dedotte dagli schemi delle sottostanti figure a, b, sui
quali sono indicati anche i percorsi delle correnti che l’eventuale generatore esterno
farebbe circolare nei resistori e da cui si vede che i resistori RA ed RB sono in serie,
mentre nel triangolo vi sono due rami in parallelo, costituiti dal resistore RAB e dalla
serie RCA ed RBC
Resistenza vista dai
morsetti A-B per i
collegamenti a
stella e a triangolo.
Ripetendo il ragionamento per le altre due coppie di terminali si ottengono le seguenti
espressioni per le resistenze viste dalle tre coppie di morsetti:
• collegamento a stella:
• collegamento a triangolo:
Uguagliando tra loro le espressioni delle resistenze viste dalle corrispondenti coppie
di morsetti, si ottiene il seguente sistema di tre equazioni:
Condizioni
di equivalenza
tra i collegamenti
a stella
e a triangolo
Trasformazione da triangolo a stella
In questo caso sono note le tre resistenze del triangolo; risolvendo soprastante sistema
considerando come incognite le resistenze RA, RB ed RC , si ottengono le resistenze della
stella equivalente al triangolo dato:
Resistenze
dei lati
della stella
in funzione
di quelle
del triangolo
Per ricordare facilmente le sopramenzionate relazioni e, nello stesso tempo, svincolarsi dai
particolari simboli usati per indicare le resistenze, vale la seguente regola, che si
può dedurre osservando la struttura delle espressioni:
la resistenza relativa a un nodo della stella è data dal rapporto tra il prodotto delle
resistenze dei lati del triangolo equivalente che confluiscono in quel nodo e la
somma delle resistenze del triangolo
Trasformazione da stella a triangolo
In questo caso sono note le tre resistenze della stella; risolvendo il solito sistema
considerando come incognite le resistenze RAB, RBC, RCA, si ottengono le resistenze del
triangolo equivalente alla stella data:
Resistenze
dei lati
del triangolo
in funzione
di quelle
della stella
Esiste anche in questo caso una regola pratica per ricordare le soprastanti relazioni,
indipendentemente dai simboli usati per indicare le resistenze:
la resistenza di un lato del triangolo è data dal rapporto tra la somma dei prodotti
delle coppie di resistenze della stella equivalente e la resistenza del ramo della
stella che fa capo al vertice opposto al lato in esame.
Caso particolare di tre resistenze uguali
In questo caso particolare sia la stella che il triangolo sono formati da tre resistenze
di uguale valore tra loro. Indicando con:
le tre resistenze della stella e con:
le tre resistenze del triangolo equivalente, l’applicazione di una qualsiasi delle
sopradette relazioni consente di ottenere il legame tra le due resistenze equivalenti:
da cui
Vale pertanto la seguente regola:
tre resistori di uguale resistenza collegati a stella sono equivalenti a tre resistori
a triangolo aventi resistenza tripla
Esempio: Calcolare la resistenza equivalente della rete resistiva della seguente figura:
individuare i seguenti collegamenti:
• R2, R4, R5 collegate a stella
• R3, R4, R6 collegate a stella
• R2, R3, R4 collegate a triangolo
• R4, R5, R6 collegate a triangolo
Per il calcolo della resistenza equivalente si può effettuare la trasformazione di uno
qualsiasi dei precedenti gruppi, ottenendo, ovviamente, lo stesso risultato.
A titolo di esempio si risolverà il problema nei quattro modi possibili
A) Trasformazione della stella R2-R4-R5
Sostituendo la stella indicata con il triangolo equivalente si ottiene lo schema di
figura (a).
Riducendo i collegamenti in parallelo RAC-R3 e RCD-R6 si arriva allo schema di figura (b),
per il quale i collegamenti sono facilmente riconoscibili.
Soluzione A:
trasformazione
del circuito di
origine.
Eseguendo i relativi calcoli si ha:
B) Trasformazione della stella R3-R4-R6
Sostituendo la stella indicata con il triangolo equivalente si ottiene lo schema di figura (a).
Riducendo i collegamenti in parallelo RAB-R2 e RBD-R5
Eseguendo i calcoli relativi alle trasformazioni indicate si ha:
C) Trasformazione del triangolo R2-R3-R4
Sostituendo il triangolo indicato con la stella equivalente si ottiene il sottostante schema (a).
Riducendo i collegamenti in serie RB-R5e RC-R6 si arriva allo schema (b), dal quale è
semplice calcolare la resistenza equivalente
Trasformazione
del circuito
originale
Eseguendo i calcoli relativi alle trasformazioni indicate si ha:
Resistenza tra due punti di una rete elettrica passiva
Si consideri sottostante figura (a), una rete elettrica formata soltanto da resistori (bipoli
passivi).
Se si collega la rete a un generatore elettrico, circolerà una corrente che, a parità
di tensione applicata, dipenderà dalla resistenza presentata dalla rete nei confronti
del sistema esterno di alimentazione, resistenza che varierà in funzione dei punti in cui
avviene il collegamento.
Si definisce resistenza tra due punti della rete passiva la resistenza elettrica che la rete
presenta verso un generatore esterno collegato nei punti considerati; essa corrisponde al
rapporto tra la tensione applicata dal generatore e la corrente totale assorbita dalla rete.
Considerando, per esempio, le coppie di punti B-C e A-C e supponendo di applicare tra
gli stessi un generatore di tensione con f.e.m. E, i due circuiti si presenteranno come
nelle figure (b) e ( c).
Resistenza tra due punti di una rete:
a) rete passiva;
b) rete vista tra i morsetti B-C;
c) rete vista tra i morsetti A-C.
Nel caso della figura (b) la rete si presenta con tre rami in parallelo, due dei quali formati da
resistori in serie (R1-R2 ed R4-R5), mentre nel circuito di figura ( c ) la serie R4-R5 è in
parallelo con R3 , il bipolo risultante è in serie con R2 e il tutto in parallelo con R1.
Un esempio:
Calcolare le resistenze RBC ed RAC per la rete passiva della soprastante figura, nell’ipotesi
che tutte le resistenze siano uguali tra loro e pari a 120 Ω. Supponendo di alimentare la rete
con un generatore di tensione avente E = 15 V, calcolare le correnti assorbite nei due casi.
Per il circuito di figura (b) si ottiene:
La corrente che la rete richiede al generatore è uguale a:
Per il circuito di figura ( c) si ottiene:
La rete presenta, rispetto al caso precedente, una resistenza maggiore e, di
conseguenza, assorbe una minore corrente, data da:
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