Si dava degli ottimi consigli, però poi li seguiva raramente
OTTICA TEORICA
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA UNA E DA DUE FENDITURE SOTTILI
Nella sottostante figura [a] è illustrato un dispositivo molto pratico per osservare la
diffrazione di Fraunhofer.
La luce proveniente da una sorgente puntiforme monocromatica S è collimata dalla lente L1,
diffratta in e focalizzata su dalla lente L2.
La luce che entra e esce dalla fenditura può essere considerata a tutti i fini pratici costituita
da onde piane. Le lenti permettono che S e siano entrambe abbastanza vicine a ma
producono la stessa figura di diffrazione da campo lontano che produrrebbero se fossero
entrambe molto lontane dalla fenditura.
[a]
[b]
La figura mostra una fenditura stretta e lunga
su che è riprodotta in maniera più detta-
-gliata in fig. [b]. Il principio di Huygens-
-Fresnel afferma che una onda piana che
illumina normalmente la fenditura riempie la
stessa di sorgenti puntifonni in fase tra loro.
La striscia infinitesimale può quindi
essere considerata come una sorgente lineare
coerente.
In base a quanto già visto nella precedente
pagina, ogni tratto di questa sorgente
lineare dà al campo lontano un contributo
dove, nell'ampiezza, r è stato per appros-
-simazione posto eguale a R, assunto costante. La funzione seno è di gran lunga più
sensibile dell'ampiezza alle variazioni della distanza; quindi, dato che
nella fase si considerano i primi due termini dello sviluppo. Questa dipendenza lineare
di r da y costituisce la approssimazione di Fraunhofer. Il valore globale in P del campo
dovuto alla striscia infinitesimale è quindi
oppure
La funzione è nota come ; i suoi valori si trovano nei vari tabulati .
Dato che la distribuzione su campo lontano della intensità di radiazione
dovuta alla sorgente lineare coerente è
dove
Quando , come in questo caso, diminuisce molto rapidamente allo scostarsi
di
da zero e la sorgente lineare emette prevalentemente nel piano xz. Inoltre ha la
forma del campo di una sorgente puntiforrne posta a distanza R da P. In altre parole,
una striscia infinitesimale si comporta come una emittente puntiforme posta
sull'asse centrale Z.
Tutte le strisce dell'intera larghezza della fenditura corrispondono
a un sistema lineare di sorgenti puntiformi disposte lungo l'asse Z. Questa sorgente
lineare a sua volta genera una figura di diffrazione equivalente a quella dell'intera
apertura, che è data da
Quindi la figura di Fraunhofer per una singola fenditura sottile ha la forma di una
funzione sinc elevata a quadrato, come indicato nella sottostante immagine.
La figura di diffrazione consiste di una vasta banda centrale luminosa contornata da una
serie di frange sottili tutte parallele alla fenditura. Il risultato corrispondente per il caso
di due fenditure sarà ricavato nel seguente problema 6).
1 )
Definire in funzione di f3 i minimi e
i massimi secondari nella figura di dif-
-frazione su campo lontano prodotta da
una fenditura sottile.
I valori estremi di si hanno
in corrispondenza dei valori di per i
quali
I minimi si hanno quando e
cioè quando
I massimi secondari si hanno invece per i
valori non nulli di che soddisfano alle
condizioni
Il metodo più semplice per risolvere quest'equazione è quello grafico, che consiste
nel sovrapporre la retta alle curve . I punti di intersezione
diversi dall'origine (vedi la soprastante figura ) definiscono i massimi secondari in
Si noti che questi massimi non sono esattamente nel mezzo tra i punti ad intensità di
radiazione nulla.
2)
Determinare i valori della intensità di radiazione per i primi tre massimi secondari in
funzione di I(0), valore del massimo principale, per la figura di diffrazione su campo
lontano prodotta da una singola fenditura.
ln base al precedente problema, si sa che i massimi secondari si hanno per
Inoltre
quindi basta cercare i valori della funzione sinc nell'appendice e si trova
Quindi i valori ricercati sono 0,047 I(0), 0,016 I(0) e 0,008 I(0)
3)
Dimostrare che la intensità di radiazione ,relativa all'm-esimo massimo
secondario, come discusso nel problema 1), è data con buona approssimazione da
Se per semplicità si assume che i massimi cadano in corrispondenza dei punti medi
tra due minimi, si ha
Ne segue che per tutti i valori di m, e quindi
Per verifica si calcoli :
Il valore trovato non si discosta molto dal valore esatto che è 0,0169 I(0)
4)
La fenditura dell’iniziale figura [a] è larga 0,5 mm e lunga 3 cm. Ambedue le lenti
hanno distanze focali di 50 cm e
= 650 nm. Determinare la posizione del primo
minimo e quella del primo massimo secondario in funzione della loro distanza
dall'asse centrale su
Nel problema 1) si è visto che i minimi si hanno quando
cioè quando
La prima frangia scura (m=1) è in posizione determinata da
o radianti (come ci si poteva aspettare,
). Per un
angolo così piccolo la distanza focale moltiplicata per
è circa uguale alla distanza Z.
Quindi
Nel problema 1) si è trovato che la prima frangia luminosa secondaria si ha per
in altre parole
Quindi radianti e quindi i primi massimi su entrambi i lati del
centro sono situati a
5)
Riferendoci al sistema geometrico della sottostante figura, per ricavare una espres-
-sione analitica della distribuzione della intensità di radiazione nella figura di diffra-
-zione su campo lontano prodotta da due fenditure. Che relazione c'è tra il risultato
ottenuto e l'esperimento di Young?
Seguendo il procedimento usato nel caso di una sola fenditura, si scrive il campo
come
Integrando si ottiene
dove è come prima, eguale a
e ora
Una forma semplificata della equazione del
campo è
e quindi
La intensità di radiazione è quella di una
fenditura per .
E' evidente che in questo caso si hanno le
frange di Young, che sono funzione del
quadrato del coseno, modulate dal diagram-
-ma di diffrazione di una sola fenditura, funzione del quadrato di sinc (vedi la sotto-
-stante figura). Quando le fenditure sono molto strette, b è molto piccolo e il picco di
diffrazione centrale è molto largo. Quando si fa tendere b a zero, e
, che coincide con quanto trovato in precedenza per l'apparato di Young.
6)
La figura di Fraunhofer di una doppia fenditura illuminata con
=650 nm è raccolta
sul piano focale posteriore di una lente avente distanza focale di 80 cm. Si rileva
dalla figura che la distanza tra frange luminose da centro a centro è di 1,04 mm e
che il quinto massimo manca. Determinare quanto è larga ogni fenditura e la distanza
tra di esse.
in un precedente problema, la distanza tra le frange nell'esperimento di Young è data
come e in questo caso s = f = 80 cm. Quindi
L'assenza del quinto massimo significa che m = 5, m' = 1 (vedi il precedente
problema).
Quindi M = m/m' = 5, da cui a = 5b e b = 0,1 mm.
7)
Tracciare un grafico che rappresenti la distribuzione della intensità di radiazione su
campo lontano per una doppia fenditura supponendo che ogni fenditura sia larga
0,1 mm e che la distanza tra le due fenditure sia 0,6 mm.
In questo caso a = 6b, per cui M = 6 e sono assenti gli ordini 6, 12, 18, ecc.
La soprastante figura mostra la distribuzione delle frange ugualmente spaziate
e modulate da
.
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