Ciò che non abbiamo osato, abbiamo certamente perduto.
OTTICA TEORICA
DIVISIONE DI AMPIEZZA TRAMITE FILM SOTTILI
In tutti i casi considerati nella pagina precedente, nelle due onde portate ad interferire
l'ampiezza del campo elettrico è pressappoco la stessa di quella dell'onda primaria
da cui sono derivate.
Si vedrà ora come si può dividere l'intero fronte d'onda primario in due porzioni, ognuna
avente un'ampiezza minore dell'onda primaria.
Facendo riferimento alla figura a lato, della luce
proveniente da una sorgente puntiforme quasi
monocromatica cade su una lastra sottile
trasparente. Dato che i coefficienti di riflessione
sono in generale piccoli, si limiterà la discus.
-sione ai due raggi riportati in figura, ognuno
dei quali subisce una sola riflessione e si
trascureranno i raggi riflessi più volte, di gran
lunga più deboli. Queste onde hanno pressap-
-poco la stessa ampiezza , e si può
pensare che provengano da due sorgenti
puntiformi virtuali coerenti.
La differenza tra le lunghezze dei cammini ottici
percorsi da questi due raggi tra
S e P è data da
o,dato che
Per la legge di Snell
Inoltre , ne segue che
Vi è tra i due raggi una differenza di fase aggiuntiva di
radianti, dato che uno è
riflesso internamente e l'altro esternamente. Ne segue che
o, in funzione di
Anche in questo caso si ha una figura di interferenza di due onde. Dato che
è
costante per tutti i valori di che sono eguali, si dice che le frange ottenute sono
frange di eguale inclinazione. Inoltre, supponendo che i due campi siano circa eguali,
si ha
e si avrà un minimo ovunque è tale che Dove invece
, si
avrà unmassimo.
Il numero m (m = 0, ±l, ±2, ... ) è detto il numero d'ordine delle frange scure o
luminose. Si deve notare che la frangia di ordine m non corrisponde necessariamente
alla m-esima frangia contata sullo schermo, come da un precedente problema.
Come conseguenza del fatto che è funzione di e non della posizione di S, altri
punti sorgente possono contribuire alla figura di interferenza senza confonderla, anzi
si possono benissimo usare anche sorgenti estese.
1)
Della luce blu cade verticalmente su un film di spessore
m immerso in aria che ha un indice di rifrazione 1,555. L'onda viene
divisa come nella soprastante figura.
Calcolare la O.P.D. prodotta dall'attraversamento del film. Qual è la differenza
di fase tra le due perturbazioni quando abbandonano il film?
La O.P.D. è data da
che tramite la legge di Snell, può essere mesa nella forma più utile
Dato che
Q\ltesta corrisponde ad una differenza tra i due cammini di lunghezze
d'onda, e ogni lunghezza d'onda provoca una differenza di fase di
. Chiaramente
allora
inclusa la variazione di fase di tr dovuta alla riflessione. Ciò significa che le due
onde, ognuna riflessa da una delle superfici del film, sono di nuovo in fase
(
è un multiplo intero di
).
2)
Un raggio di luce verde cade con un angolo di incidenza di 30°
su un film piano sottile con indice di rifrazione 1,500 immerso in aria.
(a) Qual è lo spessore minimo del film per il quale il punto di riflessione cade su
una frangia di massimo?
(b) Come apparirebbe questo punto se il film avesse spessore 1500 nm?
(a) Si ha un massimo di intensità di radiazione quando
è un multiplo intero di
. Questo a sua volta si ha con lo spessore minimo
quando
oppure
b) Se d fosse 1500 nm, si avrebbe
, che corrisponde anch'esso ad un
massimo.
3)
La figura a lato mostra un dispositivo
atto a mettere in luce una figura di
interferenza dovuta a film sottile nel
caso di incidenza quasi normale.
Descrivere la forma delle frange che
compaiono su (dette frange di
Haidinger ).
Dato che sono tutte frange di eguale
inclinazione, ogni coppia di raggi che
forma un dato angolo con la normale
arriverà su con lo stesso valore
di
. Le onde di ogni coppia del genere
sono coerenti tra loro, ma le varie
coppie provengono da diversi punti
sorgente e quindi sono non coerenti.
Il risultato è che in ogni punto di
I è data da un gran numero
di contributi sovrapponentisi, identici
e non interagenti.
La soprastante figura mostra due coppie di raggi del genere che arrivano in P ognuna
con lo stesso valore di
. Naturalmente i raggi che non stan- Film piano sottile
no nel piano di possono entrare nella lente con un dato angolo . Essi arriveranno
con la stessa differenza di fase in qualche altro punto P'. Quindi
se in P vi è una macchia luminosa, ce ne sarà una identica anche in P'. In effetti se si
fa girare attorno all'asse ottico della lente, il luogo dei punti P è una frangia
circolare. Se compongono il bulbo oculare dell'osservatore, la figura
d'interferenza sarà una serie di cerchi concentrici con centro sulla lente e
che si muovono con essa man mano che l'osservatore si sposta
Ogni volta che , compare un massimo, cioè ogni volta che
Quindi una data frangia circolare ha un particolare valore di e quindi di così come
uno specifico ordine m.
Si noti che le figure circolari di interferenza compaiono su un piano normale a .
4)
Calcolare lo spessore minimo che deve avere un film trasparente di indice 1,455 se
deve produrre un minimo nella luce riflessa quando è sottoposto a illuminazione
normale, a 500 nm, e immerso in aria.
Un minimo si ha quando
è un multiplo dispari di
, e il valore minimo di d adatto
allo scopo corrisponde a
. Quindi con
Da cui
Tutto ciò sta a significare che un tale film riflette molto poco la luce a 500 nm e
quindi è un buon trasmettitore di luce di tale lunghezza d'onda.
5)
Si supponga di aver steso su un substrato di vetro di indice un rivestimento
sottile trasparente di indice e che il tutto sia immerso in aria con indice .
Si può dimostrare che i coefficienti di riflessione sulle due interfacce sono eguali
quando
Come si può sfruttare questo fatto per produrre un rivestimento antiriflettente su,
ad esempio, la lente di una macchina fotografica?
Progettare un rivestimento antiriflettente ad un solo strato per vetro in aria a 500 nm.
Si consideri il caso in cui . In questo caso non si ha sfasamento
aggiuntivo dato che le due onde sono entrambe riflesse esternamente .
Ne segue che un film spesso introduce una variazione di
fase di 180° nell'onda che lo attraversa perpendicolarmente due volte.
Quindi per le onde di questa particolare lunghezza d'onda che vengono riflesse sulle
due superfici si ha interferenza distruttiva completa. Si tenga presente che dato che
quella lunghezza d'onda concretamente non è affatto riflessa, essa deve essere
trasmessa con alto rendimento.
Nella situazione sopra descritta e
Inoltre, dato che
Quello di cui si ha bisogno quindi è un solo strato di spessore 102 nm di un
materiale trasparente con indice 1,225.
6)
Si consideri un film trasparente sottile a a forma
di cuneo, come nella figura a lato. Descrivere la
figura di interferenza che esso produce, dare la
posizione dei massimi e dei minimi e determinare
spessore del film e distanza tra frange corrispondenti.
Le frange prodotte da questo dispositivo sono dette
frange di eguale spessore .
Lo spessore d relativo ad un punto del film
è approssimativamente dato da
.
Sulla faccia superiore del cuneo l'onda è anche
in questo caso riflessa internamente, mentre
sulla faccia inferiore è riflessa esternamente
(supponendo che ) . Si ha
quindi uno sfasamento di
radianti. I massimi di intensità di radiazione si hanno
quando queste due perturbazioni lasciano il cuneo in fase, cioè quando
dove, in caso di illuminazione quasi normale, . Quindi
Scegliendo il segno più (in caso contrario si potrebbe a m sostituire m + 1),
sostituendo , si ha
La distanza fra frange consecutive
è allora data da
Lo spessore del film all'm-esimo massimo è semplicemente
E' evidente che la figura di interferenza consiste di una serie di bande diritte
alternativamente luminose e scure parallele allo spigolo della punta del cuneo.
7)
Due lastre piane di vetro lunghe 25 cm sono separate ad una estremità da un
distanziatore di 1/4 nm, e formano quindi un film sottile di aria a forma di cuneo.
Quante frange al cm si possono osservare quando il dispositivo è illuminato
normalmente con luce rossa (
= 694,3 nm) proveniente da un laser a rubino?
Si può determinare
in base al fatto che
Si ha quindi
Usando la formula (v. problema 6)
si ottiene la distanza tra le frange
Il numero di frange al centimetro è
8)
Un anello di metallo è immerso in una soluzione di sapone ( = 1,340) e mantenuto
verticale in modo che per effetto della gravità si forma un film a forma di cuneo.
Se lo si sottopone quindi ad illuminazione quasi normale con luce verde
(
= 514,53 nm) prodotta da un laser ad argo si osservano 12 frange al centimetro.
Determinare l'angolo al vertice del film di sapone.
Il numero di frange al centimetro è dato da
per cui . Ne segue
9)
(a) Come può una lente sferica appoggiata su un piano ottico produrre frange
di interferenza?
(b) Ricavare una espressione che dia i raggi delle frange in funzione del raggio di
curvatura della lente, nel caso di illuminazione quasi normale.
(c) Dimostrare che i raggi delle frange scure sono proporzionali alle radici quadrate
dei numeri interi.
(d) Cosa c'è di diverso tra questa figura di interferenza e quella data dal dispositivo
di Haidinger del problema 3) ?
(a) Il dispositivo considerato è riportato nella
figura a lato. Anche in questo caso si conside-
reranno solo due raggi riflessi, anche se la
riflessione multipla produce molte onde più
deboli che contribuiscono al fenomeno.
I due raggi che vengono riflessi sulla faccia
superiore e su quella inferiore del cuneo
circolare interferiscono costruttivamente o
distruttivamente a seconda della differenza
di fase e quindi della O.P.D.
Data la simmetria circolare dello spessore del
film, anche le frange sono simmetriche rispetto
all'asse ottico. Queste frange di eguale spessore
sono i famosi anelli di Newton.
(b) La relazione tra il raggio x di una qualsiasi frangia
e il raggio di curvatura della lente R è semplicemente
Per la relazione diventa .
(c) Anche in questo caso si ha una differenza di fase di
radianti a causa della
riflessione e, come nel problema 3), si hanno i massimi quando
L'm-esimo anello luminoso ha quindi raggio eguale a
I minimi si hanno quando . Quindi, dato che
oppure
Ma, da (b) e quindi il raggio dell'm-esimo anello scuro è dato da
(d) Al crescere di m, cresce il raggio delle frange. Esattamente l'opposto di quanto
avveniva nella figura di interferenza di Haidinger, nella quale la frangia centrale è
quella di ordine massimo.
10)
Una lente positiva con raggio di curvatura di 20 cm poggia su un piano ottico ed è
illuminata normalmente con luce D di sodio, = 589,29 nm. Lo spazio compreso
tra le due superfici viene quindi riempito di tetracloruro di carbonio (n = 1.461).
Determinare il rapporto tra i raggi della 23-esima frangia scura rispettivamente
prima e dopo l'introduzione del liquido.
Il raggio della m-esima frangia scura, come visto nel precedente problema , è
Se quindi si dà a
un indice in modo che
sia relativo al caso con aria e
al caso con liquido, e cosi si fa anche per avendo quindi , si
può scrivere
e dato che , il rapporto è con buona approssimazione eguale a
indipendentemente dall'ordine m, Le frange si restringono verso il centro quando
cresce.
Solo per curiosità si determini
nel caso in cui si ha tetracloruro di carbonio :
11)
In un dispositivo per gli anelli di Newton, un po' di sabbia separa il vertice della
lente dal piano ottico. Dimostrare che, anche se lo spessore della separazione
è
sconosciuto, il raggio di curvatura della lente può essere determinato lo stesso in
base a grandezze direttamente osservabili.
Seguendo il procedimento del problema 9(c) relativo alla m-esima frangia scura,
si vuole ora che
Quindi, con
Analogamente, per la l-esima frangia scura,
Sottraendo si arriva a
che è indipendente da
. Basta quindi contare l'ordine e quindi misurare il
raggio di due qualsiasi frange per poter determinare R con la relazione
12)
Descrivere il sistema degli anelli di Newton visti in luce trasmessa confrontata con
la figura prodotta dalla luce riflessa. Si consideri una illuminazione quasi-normale.
Le figure relative alla luce trasmessa e alla luce riflessa sono tra loro complementari,
nel senso che una frangia scura in una corrisponde a una frangia luminosa nell'altra.
Dove le superfici sono a contatto e lo spessore del fìlrn si annulla, si ha un minimo
in luce riflessa e un massimo in luce trasmessa. Nel caso di luce riflessa, i campi
elettrici delle due onde che interferiscono hanno ampiezze praticamente eguali,
e quindi danno un sistema di frange ben definite e ben visibili. Si ricordi che ognuna
di queste onde è riflessa una volta sola pressappoco con angoli eguali.
Invece nel caso della trasmissione, una delle due onde che interferiscono è circa
venti volte più debole dell'altra, dato che passando attraverso il sistema subisce due
riflessioni, mentre l'onda più forte non è riflessa affatto. Dato che la maggior parte
della luce che colpisce il film lo attraversa, la figura di interferenza per trasmissione
è pochissimo visibile, in particolare nel caso di incidenza normale.
13)
Della luce costituita da due lunghezze d'onda che nel vuoto hanno valori rispettiva-
mente 650 nm e 520 nm cade quasi normalmente sopra una lente sferica positiva
appoggiata orizzontalmente su di un piano ottico. Il raggio di curvatura della lente
è di 85 cm e lo spazio tra essa e il piano è occupato da aria. Determinare il diametro
della m-esima frangia, sapendo che la m-esima frangia scura dell'onda di 650 nm
coincide con la (m + l )-esima frangia scura dell'onda di 520 nm.
Si sa che
relativo a è eguale a relativo a , ovvero che
che semplificata diventa
da cui m = 4. Il raggio della frangia in questione è allora
e il suo diametro 2,97 mm.
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