Commettere malvagità a favore del padrone è perfino considerato un merito.
OTTICA TEORICA
SPECCHI PIANI, SFERICI E NON SFERICI
SPECCHI PIANI, NON SFERICI E SFERICI
Gli specchi piani sono uno strumento molto comune e relativamente semplice.
Una sorgente puntiforme S, come nella sottostante figura, emette dei raggi divergenti che
vengono riflessi dallo specchio e continuano a divergere.
Un occhio o la lente di una macchina fotografica possono raccogliere questi raggi e focaliz-
-zarli formando una immagine reale di S, ma l'immagine prodotta dallo specchio stesso in
P è virtuale; essa si trova dietro lo specchio, non può essere proiettata e tutto avviene
come se i raggi divergessero a partire da essa.
[A]
I triangoli rettangoli ASB e APB di figura [A] sono congruenti, dato che il lato è
comune e
Perciò .
A differenza di una lente, qui l'immagine virtuale è a destra della interfaccia. Di
conseguenza si adotterà la convenzione che sono entrambi negativi a destra
della superficie riflettente.
Ogni punto sorgente nello spazio degli oggetti corrisponde ad un punto dello spazio
delle immagini, posto alla stessa distanza dietro la interfaccia.
Ne segue che per uno specchio piano MT (l'ingrandimento trasversale) è eguale a + 1;
l'immagine è a grandezza reale, virtuale e diritta (in piedi).
Gli specchi curvi sono suddivisi in specchi sferici e in specchi non-sferici. Varie
configurazioni non sferiche sono illustrate di seguito alla figura [A].
Il fatto che uno specchio a paraboloide riflette una onda piana incidente in una onda
sferica perfettamente convergente spiega il suo uso come principale elemento
collettore della luce nel telescopio da 200 pollici (- 5 m) di Monte Palomar.
Per lo stesso motivo l'antenna del radiotelescopio di Jodrell Bank è un enorme
paraboloide di 250 piedi (- 75 m) di diametro.
I raggi delle figure che seguno la[A] sembrano convergere verso (o divergere da) punti
posti sull'asse dello specchio che sono i fuochi geometrici delle superfici curve.
Confrontando le configurazioni parabolica e sferica , si vede che le due configurazioni
praticamente coincidono in prossimità dell'asse ottico quando il raggio della sfera è
eguale a due volte la distanza focale della parabola. Di conseguenza è logico
attendersi che, almeno nell'ambito della approssimazione parassiale, F funga da punto
focale per uno specchio sferico con centro in C.
Per questo specchio le distanze dell'oggetto e dell'immagine sono legate dalla equazione
dello specchio:
Si osservi che questa equazione ha la stessa forma dell'equazione della lente,
purché si adotti la convenzione dei segni della sottostante tabella [1].
Ne segue che uno specchio sferico concavo si comporta rispetto alla formazione di
immagini sostanzialmente come una lente sottile convergente, mentre uno specchio
sferico convesso si comporta come una lente divergente; le precedenti tabelle sono
applicabili sia a specchi sferici che a lenti sferiche. Ciò implica che gli specchi sferici,
in opportune condizioni, abbiano le proprietà sia delle configurazioni paraboliche che
di quelle ellittiche: come le prime possono formare immagini di oggetti molto distanti,
come le seconde possono formare immagini di oggetti molto vicini.
Convenzione dei segni per superfici riflettenti sferiche
+ a sinistra di V
+ a sinistra di V
+ quando C è a destra di V
+ sopra l’asse ottico
Significato fisico dei segni dei parametri degli specchi sferici
Grandezza
Segno +
Segno -
oggetto reale
oggetto virtuale
immagine reale
immagine virtuale
specchio concavo
specchio convesso
oggetto dritto
oggetto capovolto
immagine dritta
immagine capovolta
immagine dritta
immagine capovolta
specchio convesso
specchio concavo
1 )
Una matita è posta di fronte a uno specchio piano e inclinata in modo che la punta
sia più distante dallo specchio. Costruire un diagramma di raggi che dia l'immagine
della matita.
Dato che ogni punto dell'oggetto corrisponde a un
punto immagine a eguale distanza dietro lo specchio
(come nella soprastante figura [A]), basta determi-
-nare la posizione delle estremità dell'immagine
della matita.
Due qualsiasi raggi che partono da un punto dell'og-
-getto determinano il punto immagine; ma conviene
scegliere un raggio perpendicolare.
La figura alla tua destra si spiega da sola.
2)
Qual è la lunghezza del più piccolo specchio piano verticale in cui potete vedere
tutto il vostro corpo e dove deve essere posto? (un problema classico).
Quale che sia la geometria del sistema,
il piano dello specchio
si trova a metà
strada tra l'oggetto e l'immagine (
Se volete vedere il vostro piede, occorre
che un raggio che parte da esso arrivi al
vostro occhio. L'altezza del punto H è
ignota, ma
deve essere eguale
a
.
Ciò significa che i triangoli BHC e DHC
sono congruenti e quindi .
Analogamente, se si deve vedere la sommità della testa, deve essere .
Quindi lo specchio che serve allo scopo è uno specchio di lunghezza
dove
)
In altre parole, occorre uno specchio lungo come la metà della vostra altezza, il cui
lato superiore sia ad una altezza eguale al punto intermedio tra il vostro occhio e
la sommità del vostro capo.
3)
Due specchi piani sono disposti perpendicolarmente l'uno all'altro, su un tavolo di
fronte ad una raganella verde. Quante immagini di se stessa vede la raganella ?
Tre (vedi sottostante figura). Due immagini risultano ognuna per riflessione da
ciascuno dei due specchi. La terza deriva dalla riflessione combinata dei due specchi.
4)
Dimostrare che la equazione dello specchio sferico è applicabile anche ad una
superficie riflettente piana.
L'equazione dello specchio è
Nel caso di una superficie piana, il raggio di curvatura diventa infinito, quindi
ossia , come richiesto. (Dato che la distanza dell'oggetto è positiva, Si deve
essere un numero negativo; la immagine è collocata a destra della superficie
riflettente)
5)
Si consideri un raggio giacente in un piano perpendicolare ai due specchi della
sottostante figura.
Dimostrare che i due specchi deviano il raggio di un angolo eguale a quale che
sia il suo angolo di incidenza.
L'angolo di deviazione, indicato con ,
è un angolo esterno del triangolo ADC
e quindi è eguale alla somma degli angoli
interni non adiacenti; si ha cioè
Nel triangolo ABC si ha
che porta a
e quindi
6)
Succede assai spesso di trovare dei piccoli specchi piani fissati al sistema di
sospensione di strumenti come pendoli a torsione e galvanometri.
Dimostrare che se lo specchio ruota di un angolo , il raggio di luce subisce una
deviazione aggiuntiva di .
La disposizione considerata è quella della figura a lato
Quando lo specchio ruota, l'angolo di incidenza diventa
, e tale diventa anche l'angolo di riflessione.
La deviazione complessiva è quindi 21), che va
confrontata con la deviazione che il raggio subiva
prima della rotazione.
7)
nella sottostante figura, è rappresentato uno specchio ellissoidale i cui fuochi sono
in e .
La lente sottile positiva ha distanza focale f e nel punto , è disposto un filamento
di tungsteno. Disegnare il percorso seguito dai raggi emessi dal filamento.
La maggior parte dei raggi che partono da
colpiscono l'ellissoide e sono riflessi nel secondo
fuoco .
I raggi passano per il punto e proseguono
sostanzialmente come se la sorgente fosse in
anziché in . Dato che è anche il fuoco
oggetto della lente, i raggi che colpiscono la lente
usciranno dal sistema ottico come un fascio di raggi collimati paralleli all'asse ottico.
Ovviamente, alcuni raggi sfuggiranno direttamente senza essere ritlessi, mentre altri
saranno riflessi più volte prima di arrivare alla lente
8)
Il telescopio riflettore gregoriano è un sistema ottico centrato formato da un
grande specchio parabolico primario che raccoglie la luce incidente, la fa ricadere
su un piccolo specchio secondario concavo ellissoidale. I raggi vengono riflessi
da questo secondo specchio verso un foro praticato nello specchio primario.
Tracciare un grafico di raggi e discutere la posizione dei vari fuochi.
Il punto è chiaramente il fuoco dello specchio parabolico, il fuoco matematico del
paraboloide. La luce proveniente da un fuoco di un ellissoide converge nell'altro fuoco
dell'ellissoide stesso. Quindi e sono i fuochi dello specchio ellissoidale.
è quindi un fuoco comune agli specchi primario e secondario
9)
Nel telescopio solare di Kitt Peak uno specchio piano di 80 pollici segue il Sole,
riflettendo luce collimata in un pozzo lungo 150 m fino ad uno specchio parabolico
di 60 pollici. Questo specchio primario a sua volta fa convergere il fascio di luce in un
fuoco situato nel pozzo 90 m sopra lo specchio, e qui l'immagine del Sole può essere
fotografata. Dato che il diametro del Sole è circa di 1 400 000 km e la sua distanza
dalla Terra è di 150 milioni di chilometri, quanto sarà grande la sua immagine nel
fuoco del telescopio?
Ogni punto dei Sole emette una onda sferica il cui raggio cresce finché arriva
all'apertura di un lontano telescopio con una onda praticamente piana.
Il fascio di raggi praticamente parallelo viene focalizzato in un punto immagine a
distanza dallo specchio. Così, punto per punto, fasci di raggi che arrivano da
direzioni leggermente diverse danno una immagine completa e capovolta del Sole.
Naturalmente, solo il punto del Sole posto esattamente sull'asse del telescopio
viene tradotto perfettamente in immagine dallo specchio parabolico, ma l'angolo
sotteso è piccolo e quindi il deterioramento dell'immagine è estremamente
piccolo sull'intero disco. Dalla soprastante figura deriva che
Il diametro del disco immagine è chiaramente dato da
10)
Uno specchio sferico concavo ha un raggio di grandezza e centro in C. Un
oggetto reale diritto alto è posto a distanza dal vertice dello specchio.
Tracciare un diagramma di raggi che mostri come si forma l'immagine.
Per definire la posizione dell'immagine del punto più alto dell'oggetto ci vogliono due
raggi. Conviene per semplicità usare quelli che passano rispettivamente per C e per il
fuoco F, dove . Un raggio che passa per C si propaga lungo un raggio della
sfera ed è riflesso sempre lungo lo stesso raggio.
Un raggio che viaggia parallelamente all'asse ottico viene invece riflesso per F.
L'immagine del punto più alto dell'oggetto si trova nel punto di intersezione dei due raggi.
Un raggio che parte dal punto più basso dell'oggetto passa per C e viene riflesso lungo il
suo stesso percorso.
Quindi la immagine della base dell'oggetto si trova sull'asse, esattamente sulla normale
all'asse stesso passante per il punto di intersezione dei due raggi per C e per F prima
considerati.
Un altro raggio che può essere usato è quello passante per F prima di colpire lo
specchio .
11)
Calcolare l'ingrandimento e la posizione dell'immagine nel caso del problema 10.
Dato che il raggio R nel caso in esame è una grandezza negativa, esso è dato, in
funzione del suo valore
assoluto, da . La equazione dello specchio
diventa
o . L'immagine è reale e alla sinistra del vertice. Quanto all'ingrandimento
L'immagine è capovolta e di grandezza eguale a metà della grandezza reale.
12)
Una candela alta un pollice è posta tre pollici a sinistra di uno specchio sferico
concavo di raggio l piede (12 pollici). Descrivere l'immagine che ne risulta.
L’equazione dello specchio
dà
L'immagine è virtuale dato che è negativo ( uno specchio concavo si comporta come
una lente convergente, quindi, dato che pollici e = +3 pollici, è
evidente che e l'immagine deve essere virtuale, diritta e ingrandita).
Procedendo
per cui l'immagine è diritta e di grandezza doppia di quella reale.
13)
Tracciare un diagramma dei raggi per il problema 12.
Anzitutto si traccia un raggio (n. 1) che parte dalla punta della candela ed è parallelo
all'asse. Esso viene riflesso dallo specchio e ritorna passando per F. Dalle tabelle già
enunciate si sa già che un oggetto così vicino ( ) dà una immagine virtuale, ma
supponiamo di non saperlo e procediamo. Un raggio (n. 2) che viaggia lungo un raggio
colpisce lo specchio e ritorna lungo lo stesso percorso passando per C. E' evidente che
i raggi 1 e 2 non si intersecano sulla sinistra di V, ma sembrano provenire invece entrambi
da un punto 6 pollici dietro lo specchio. Un altro raggio (n. 3) è tracciato facilmente;
è quello che colpisce lo specchio in V. (Si può usare anche un raggio che percorre la
retta passante per F e la punta della candela: esso viene riflesso lungo una parallela
all'asse ).
14)
Per proiettare su una parete l'immagine di una candela si usa uno specchio sferico
concavo di 20 cm di raggio, posto a 110 cm dalla parete. Dove si deve porre la
candela e come sarà !'immagine?
Se si vuole che l'immagine sia reale, l'oggetto deve essere collocato a sinistra di V,
quindi e
Si ha quindi un valore leggermente maggiore di f = 10cm e minore di 2f. Inoltre
il che significa che l'immagine è capovolta e ingrandita di 10 volte
15)
Disegnare uno specchio sferico tale che formi una immagine diritta di grandezza
metà del reale di un oggetto posto a 100 cm dal vertice.
Qual è la posizione dell'immagine?
La distanza dell'immagine può essere determinata dall'ingrandimento con questo
procedimento:
Dalla equazione dello specchio si ha ora il raggio
Lo specchio è convesso e l'immagine è virtuale .
Si noti che solo uno specchio convesso dà una immagine diritta e rimpicciolita.
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