Se fossi re, istituirei cattedre per insegnare a tacere.
OTTICA TEORICA
LENTI SOTTILI COMPOSTE
LENTI SOTTILI COMPOSTE
Si esaminino ora le immagini formate da sistemi di lenti semplici sottili.
Il primo approccio al problema è grafico ed è riportato nella sottostante figura [A].
Si osservi che in questo caso sia che sono maggiori di d.
I raggi contrassegnati con 1 e 2 si intersecano in dando una immagine rimpicciolita,
capovolta e reale. Il raggio 2 è di costruzione abbastanza ovvia perché esso passa
per i due fuochi e .
Il raggio 1 richiede un po' più di discussione: esso passa per il punto ma con una
inclinazione ignota.
Si noti però che se si togliesse la lente il raggio 1 resterebbe immutato.
Si immagini ora che la lente svanisca, come nella sottostante figura [B].
Tutti i raggi provenienti dal punto che colpiscono la lente si intersecano nel punto .
Basta ora determinare la posizione di usando due raggi opportuni e quindi costruire a
ritroso il raggio 1 da attraverso fino a .
[A]
[B]
Per arrivare ad una formulazione analitica, si deve semplicemente assumere che
l'immagine formata dalla prima lente funzioni come oggetto per la seconda lente,
e così via lungo tutto il sistema.
Nel caso di due lenti sottili qualsiasi contigue si trova che
dove e sono rispettivamente le distanze dell'oggetto e dell'immagine, misurate
come indicato in figura [A]. Se l'ingrandimento delle singole lenti è e risulta
evidente che l'ingrandimento complessivo è
In altre parole, la prima lente produce una immagine con ingrandimento che a
sua volta è ingrandita di un fattore dalla seconda lente. In forma esplicita,
Se tende a , assume il valore indicato con l'abbreviazione f.f.l. (front focal lenght
= distanza focale frontale); si ha quindi
Analogamente quando tende all'infinito, la corrispondente distanza dell'immagine
è detta distanza focale posteriore o b.f.l. (back focal length), dove
In altri termini, se della luce collimata arriva da sinistra sulla lente composta, essa
sarà focalizzata alla destra dell'ultimo elemento del sistema alla distanza b.f.l. Se
invece arriva da destra, sarà focalizzata a distanza f.f.l. a sinistra del primo elemento.
Si noti che quando le lenti sono a contatto tra loro (d = 0), b.f.l. = f.f.l.; il valore
comune delle due distanze focali è detto distanza locale effettiva f con
Si usa comunemente definire una grandezza detta potenza di una lente; essa è il
reciproco della distanza focale. Se f è espressa in metri, è espressa in o diottrie .
Nel caso di due lenti sottili a contatto
dà la potenza risultante dei due singoli elementi.
Nelle seguenti pagine si tratterà più diffusamente delle lenti composte
1 )
Una lente composta consiste di due lenti sottili biconvesse LI e L2 di distanza focale
rispettivamen te 10 e 20 cm, poste a distanza 80 cm l'una dall'altra. Descrivere
l'immagine corrispondente a un oggetto alto 5 cm posto 15 cm a sinistra della prima
lente
La distanza dell'immagine è data da
dove
Ne segue
L'immagine è reale, 33,3 cm a destra della seconda lente. L'ingrandimento
trasversale è
l'immagine è cioè leggermente ingrandita e diritta
2) Costruire un diagramma in scala dei raggi del problema 1). Calcolare la posizione
dell'immagine intermedia e verificare che si accorda con il disegno.
La immagine intermedia, cioè quella formata dalla prima lente, si trova nella
posizione data dalla equazione della lente sottile
Quindi , che è 30 cm alla destra di L1
Riferendosi alla soprastante figura, si vede che i raggi 1 e 2 permettono di determinare con
facilità l'immagine intermedia. Due raggi qualsiasi provenienti dall'estremità dell'immagine
determinano a loro volta la posizione dell'immagine reale: i raggi 2 e 3 sono i più conve-
-nienti da usare.
3) Si consideri una lente composta formata da una lente sottile positiva seguita a 20
cm da un'altra lente sottile negativa. Se esse hanno distanza focale rispettivamente
+40 cm e -40 cm, determinare la f.f.I. e la b.f.I.
In questo caso f1 = 40 cm, f2 = -40 cm e d = 20 cm. Quindi
Quindi l'immagine di un oggetto molto distante come ad esempio il sole si formerebbe
40 cm dietro la seconda lente.
4) In un tubo di cartone sono montate una lente piano-convessa di raggio 60 mm e
indice 1,5 e, 120 mm davanti ad essa, una lente biconcava di distanza focale -60 mm.
Determinare l'immagine di una formica di 3 mm che si trova 180 mm davanti al
sistema ottico considerato.
La distanza focale della lente positiva è data dalla equazione
da cui f2 = +120 mm. Quindi, essendo f1 = -60 mm, d = 120 mm e So = 180 mm,
si ha
L'immagine è reale e posta alla destra della seconda lente. Quanto all'ingrandimento
trasversale,
e l'Immagine è capovolta e rimpicciolita: la formica sembra lunga 2 mm.
5) Un microscopio fatto in casa ha una lente anteriore sottile positiva L1 con 2 cm di
distanza focale e, 10 cm dietro di essa, un'altra lente positiva L2, con 5 cm di distanza
focale.
(a) Determinare la posizione dell'immagine di un oggetto posto 3 cm davanti
alla lente anteriore e calcolarne l'ingrandimento.
(b) Costruire un diagramma dei raggi per un oggetto puntiforme posto sull'asse ottico
(a) L'immagine si troverà a distanza si da L2, dove f1 = 2 cm, f2 =5 cm, d= 10 cm e
so = 3 cm. Ne segue
L'immagine si trova davanti a L2, cioè è virtuale. L'ingrandimento trasversale è
quindi
e l’immagine è capovolta e 10 volte più grande dell'oggetto.
(b) Questa è la costruzione grafica
6)
Una lente sottile a menisco positivo (convesso-concava) (n = 1,5) con raggi di
curvatura di 5 cm e 10 cm è montata a contatto con una lente sottile piano-concava
(n = 1,6) di raggio 6 cm. Qual è la distanza focale effettiva del sistema di lenti?
Determinare anche la potenza del sistema.
Il primo passo da fare è calcolare le due distanze focali, cioè
Si ottiene f1 = 20 cm e f2 = -10 cm. La distanza focale risultante f è
f = -20 cm e ,
= -5 diottrie.
Una lente sottile a menisco negativo con raggi 60 cm e 30 cm e indice 1,5 è
disposta orizzontalmente con il lato concavo volto verso l'alto. La concavità viene
quindi riempita di un olio trasparente di indice 1,6. Determinare la potenza in diottrie
della lente sottile composta supponendo che sia immersa in aria.
Descrivere l'immagine dì un oggetto posto 100 cm a sinistra della lente
7)
Dato che , e in questo caso R1 = 0,6 m, R2 = 0,3 m e nlm = 1.5
Questa è la potenza della lente a menisco di vetro. Quanto alla lente di olio
La potenza combinata dei due elementi a contatto è
la distanza focale effettiva è quindi e la equazione
dà la distanza dell'immagine che si cercava. Quindi
Si = 5,88 m e MT = 5,88, per cui l'immagine è reale, diritta e ingrandita.
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