La farfalla non conta i mesi ma i momenti e ha tempo a sufficienza.
GLI INTEGRALI : ancora definizioni
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Ancora sulla definizione di integrale...
in altri termini, assegnata
una funzione f(x) continua
in [a. b],f(x) ≥ 0
DEFINIZIONE
Integrale definito della funzione f(x) relativamente
all’intervallo [a, b] è la misura dell’area della regione
di piano delimitata dalle rette di equazione
x=a, x=b, y=0 e dalla curva di equazione y=f(x)
dove :
i numeri a e b (estremi dell’intervallo di definizione della funzione), vengono definiti
estremi di integrazione e in particolare:
•
a è l’estremo inferiore di integrazione
•
b è l’estremo superiore di integrazione
•
la funzione f (x) viene definita funzione integranda
•
la variabile x è la variabile di integrazione
In definitiva, quindi, per definizione, vale che:
Nota : Nelle ipotesi poste, l’integrale definito è sempre un numero > 0
Quindi, abbiamo dato la definizione di integrale definito di una funzione f definita e
continua in un intervallo [a,b] nel caso particolare in cui f(x) ≥ 0 e ne abbiamo dato
l’interpretazione geometrica dicendo che coincide con l’area del rettangoloide
relativo alla funzione stessa
Osservazione
Le somme sn ed Sn relative ad una funzione f(x), definita e continua in un intervallo
[a,b], possono essere costruite anche indipendentemente dal segno della stessa
funzione f(x) nell’intervallo [a,b]
(però, nel caso in cui f cambia segno, le somme sn ed Sn non rappresentano
geometricamente l’area del plurirettangolo inscritto e circoscritto al rettangoloide)
L’integrale definito può essere definito per ogni funzione f(x) definita e continua in
[a,b] come limite comune delle somme sn ed Sn relative alla funzione, qualunque sia
il segno di f, a patto però di non darne nel caso in cui f cambia segno l’interpretazione
geometrica di area del rettangoloide relativo alla f stessa.
In generale, vale quindi il seguente Teorema:
Se f(x) è una funzione definita econtinua in un intervallo
[a,b] chiuso e limitato, allora le somme sn ed Sn hanno
lo stesso limite finito per n->+∞ e tale limite è per
definizione l’integrale definito di f relativo all’intervallo
[a,b]
dove se :
e se f(x) cambia segno in [a,b], l’integrale non ha un’interpretazione geometrica
Da ciò segue immediatamente che: l’integrale definito relativo ad una funzione f(x)
definita e continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato è un numero:
- un numero positivo se f ≥ 0 nell’intervallo [a,b]
- un numero reale che può essere anche negativo o pari a zero se la funzione f
cambia segno nel proprio
In altri termini , assegnata una funzione f(x) continua in [a,b], f(x) ≤ 0
DEFINIZIONE
Integrale definito della funzione y=f(x)
relativamente all’intervallo [a,b] è
l’opposto della misura dell’area della
regione di piano delimitata dalle rette
di equazione x=a, x=b, y=0 e dalla
curva y=f(x)
In particolare, assegnata una funzione f(x), continua in [a, b] :
se A è la misura dell’area della regione del semipiano delle ordinate positive delimitata dalle
rette di equazione x=a, x=b, y=0 e dalla curva y = f(x), B la misura dell’area della regione
del semipiano delle ordinate negative delimitata dalle rette di equazione x=a, x=b, y=0 e
dalla curva y=f(x), allora l’ Integrale definito della funzione y=f(x), relativamente
all’intervallo [a,b] è
Esempio 1:
risulta che :
Esempio2
La circonferenza di raggio unitari avente equazione :
x2 + y2 = 1
Può esser vista come l'unione dei grafici delle due funzioni di equazione rispettivamente :
y= -√ (x2-1)
y= -√ (x2-1)
Esempio3
Per calcolare l’area della regione di
piano compresa fra curva e asse
delle ascisse occorre calcolare :
Osservazione:
se f(x) è una funzione costante
In particolare, vale che :
PROPRIETA' DEGLI INTEGRALI DEFINITI
• Additività dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione
Sia f (x) una funzione definita e continua in [a,b] e sia
Allorta vale che:
Esempio
Ovviamente, tale proprietà ha
un chiaro significato geometrico
nel caso si tratti di integrali di
funzioni positive
Area R = Area T1 +
Area T2
LINEARITA' DELL'INTEGRALE
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite e continue in [a,b] e sia . Allora, vale che:
MONOTONIA RISPETTO ALLA FUNZIONE INTEGRANDA
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite e continue in [a,b]. Allora, vale che
ed in particolare che
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