La fortuna non esiste: esiste il momento in cui il talento incontra l'opportunità.
GLI INTEGRALI : CONCETTI
… studiare, studiare ed ancora
studiare, è il solo modo di capire
quanto possa essere grande
la propria ignoranza!
Il concetto di integrale : motivazioni ed obiettivi
Il concetto di integrale è legato alla risoluzione di due classi
di problemi:
Integrale definito
•
Calcolo delle aree di figure delimitate da curve
•
Calcolo di volumi
•
Calcolo del lavoro di una forza
Integrale indefinito
•
Calcolo dell'espressione analitica di una funzione a partire
dalla derivata della funzione stessa
Aree di figure piane:
Se ad esempio, prendiamo in considerazione un rettangolo,
come mostrato alla tua destra, possiamo suddividerlo in
piccoli quadratini di area unitaria, quindi possiamo dire
che l'area del rettangolo è la somma delle aree di tutti i
quadratini, nei quali il rettangolo è stato scomposto.
Per le aree dei poligoni, questa è la soluzione più semplice,
in quanto qualsiasi poligono può essere scomposto in
triangoli e la sua area ricondotta alla somma delle aree
dei triangoli in cui è stato decomposto.
•
Poligoni regolari: scomponendoli in triangoli congruenti
è facile carlcolarne l'area
•
Poligoni irregolari : occorre solamente scomporli
opportunamente in triangoli
Per il calcolo dell'area del cerchio, la cosa si complica
perchè non è possibile suddividere un cerchio in
triangoli o quadrati. E' possibile però calcolarne
l'area per approssimazioni successive mediante
poligoni regolari inscritti nel cerchio e poligoni regolari circoscritti al cerchio.
Si dimostra che: l'area del cerchio è uguale al limite comune , quando il numero dei
lati ->∞, al quale tendono le successioni formate dalle aree dei poligoni inscritti e
circoscritti al cerchio.
Riguardo all'area di un rettangoloide, relativo ad una
funzione f continua nell'intervallo [a, b], si agisce
calcolando l'area della regione di piano compresa tra
l'asse x, le due rette verticali di equazione x=a ed
x = b ed il grafico di f.
Tale regione di piano è detta rettangoloide relativo
alla funzione f.
Integrale definito di una funzione : definizione
Assegnata una funzione f continua nell'intervallo [a,b], l'integrale definito della
funzione f(x) relativamente all'intervallo [a, b] è la misura dell'area del rettangoloide
R relativo alla funzione f e si indica come segue :
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