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Ulteriori definizioni di Logaritmo
… studiare, studiare ed ancora studiare, è il solo modo di capire quanto possa essere grande la propria ignoranza!
Per semplicità di calcolo, per dimostrare la prima delle proprietà elencate ci limitiamo al caso di due soli fattori; dimostriamo cioè che: a tal scopo poniamo Per la definizione di logaritmo varranno allora anche le due uguaglianze e che, moltiplicate membro a membro, danno: e quindi Dall'ultima uguaglianza scritta si deduce che l'esponente da dare ad a per ottenere è , il che equivale a dire (per la definizione di logaritmo) che: e quindi, ricordando le posizioni fatte, che:
Prima di passare ad esemplificare le proprietà dei logaritmi osserviamo che valgono ovviamente anche le proprietà inverse (ad esempio: la somma di due logaritmi in una stessa base è uguale...). ESEMPI 1. 2. 3. 4. 5.
I LOGARITMI DECIMALI. CENNO AI LOGARITMI NATURALI L'insieme dei logaritmi di tutti i numeri reali positivi in una data base a viene chiamato sistema di logaritmi in base a. Tra tutti gli infiniti sistemi di logaritmi assumono grande importanza quello in base 10, che viene comunemente chiamato dei logaritmi decimali o di Briggs, e quello in base e (con la lettera e viene indicato un particolare numero irrazionale che ricorre assai spesso nelle matematiche superiori e nello studio teorico di molti fenomeni fisici, statistici, ecc., e del quale riportiamo un valore approssimato: e = 2,718281828... , che viene comunemente detto dei logaritmi naturali o neperiani. L'importanza del primo di questi sistemi di logaritmi è ovviamente legata al fatto che, essendo il nostro sistema di rappresentazione numerica di tipo decimale, sono assai più facili la compilazione, e soprattutto l'uso, di tavole numeriche che permettono di calcolare rapidamente logaritmo decimale di qualsiasi numero. L'importanza del secondo di questi sistemi è dovuta al fatto che in molte leggi naturali, fisiche, statistiche, ecc., le grandezze in gioco sono tra loro legate da funzioni di tipo esponenziale a base e o di tipo logaritmico a base e (funzioni che, tra l'altro, godono di notevoli proprietà matematiche). Le tavole logaritmiche che forniscono i logaritmi in base dieci sono comunque utilizzabili anche per il calcolo di logaritmi in base e (come del resto di logaritmi in qualsiasi base); infatti, per la proprietà relativa al cambiamento di base, il logaritmo in base e di un qualsiasi numero x positivo è: e quindi, una volta noto il valore del modulo di trasformazione 1/log10 e (che vale circa 2,3026), è numericamente noto tutto il sistema di logaritmi in base e. Per quanto poi riguarda le calcolatrici tascabili osserviamo che tra queste quelle atte al calcolo di logaritmi sono in genere in grado di fornire direttamente sia i logaritmi decimali che quelli naturali. Per semplicità di scrittura, d'ora in poi indicheremo il logaritmo decimale con il simbolo log, tralasciando l'indicazione della base; indicheremo invece il logaritmo naturale con il simbolo ln, tralasciando anche in questo caso l'indicazione della base. Avremo così: e
Le equazioni logaritmiche Un'equazione nella quale compare il logaritmo dell'incognita, o di espressioni contenenti l'incognita, viene detta equazione logaritmica. In genere, per risolvere un'equazione logaritmica si cerca di portarla, applicando le proprietà dei logaritmi, nella forma dove A(x) e B(x) sono due espressioni contenenti l'incognita x, che vengono denominate argomenti dei logaritmi. Affinchè siano uguali i due membri della (a) è necessario che siano uguali le due espressioni A(x) e B(x); è possibile quindi passare dalla (a) all'equazione
Si tenga però presente che l'equazione data, la (a) (alla quale si giunge mediante l'applicazione delle proprietà dei logaritmi) e la (b) non sono, in generale, equivalenti tra loro. Infatti, mentre le soluzioni della (a) sono certamente tutte soluzioni anche dalla (b), non è vero il viceversa: la (b) potrebbe avere delle soluzioni che rendono uguali, ma negative, le due espressioni A(x) e B(x), e che pertanto non possono essere soluzioni anche dalla (a). Per esempio, le equazioni:
(che si ottiene dalla prima passando dall'uguaglianza tra i due logaritmi a quella tra gli argomenti), non sono equivalenti; infatti, mentre x = 3 è soluzione della seconda, non lo è della prima, poichè rende uguali, ma negative, le due espressioni 2 - x ed x - 4. Analogamente, la (a) potrebbe avere soluzioni che rendono uguali e positive le due espressioni A(x) e B(x), ma che non rendono positive tutte le espressioni che compaiono sotto segno di logaritmo nell'equazione data. Così, per esempio, le equazioni:
(che si ottiene dalla prima applicando nel suo membro di sinistra una proprietà dei logaritmi), non sono equivalenti; infatti, mentre x = - 2 è soluzione della seconda perchè rende uguali e positive le due espressioni x2+x e 4+x, non può essere soluzione anche della prima, poichè rende negative le espressioni x + 1 e x che compaiono sotto segno di logaritmo nel membro di sinistra. Concludiamo quindi che, per risolvere un'equazione logaritmica si cerca, in genere, di portarla prima nella forma (a) e poi nella forma (b); quindi, risolta quest'ultima, si sostituiscono le soluzioni trovate all'incognita nell'equazione data per vedere se tutti gli argomenti dei logaritmi assumono valori positivi; solo se tale condizione è verificata le soluzioni della (b) saranno soluzioni anche dell'equazione proposta. Invece di eseguire questa verifica è possibile stabilire fin dall'inizio, mediante la risoluzione di opportune disequazioni, a quali condizioni devono soddisfare le soluzioni dell'equazione proposta affinchè possano essere accettabili.
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