La donna è un insieme di curve che fanno raddrizzare un segmento.
ELETTRONICA
… studiare, studiare ed ancora studiare,
è il solo modo di capire quanto possa
essere grande sia la propria ignoranza!
Massa
kilogrammo
kg
GENERATORI DI THEVENIN E DI NORTON
Generatore equivalente di Norton
Nelle precedenti pagine è stata dimostrata l’equivalenza tra un generatore reale di tensione,
avente f.e.m. E e resistenza interna Ri, e un generatore reale di corrente avente la stessa
resistenza interna (o conduttanza Gi= 1/Ri) e corrente impressa I0= E/Ri.
Applicando questo concetto al generatore equivalente di Thevenin si ottiene, per trasforma-
-zione, un generatore reale di corrente, mostrato nella sottostante figura, le cui grandezze
caratteristiche sono date da:
Il rapporto Icc=ETh/RTh , rappresenta la corrente di cortocircuito del generatore di
Thevenin e, quindi, anche la corrente di cortocircuito della rete S, a cui il generatore
è equivalente.
Quanto sopra costituisce il teorema del generatore equivalente di Norton che afferma:
una rete elettrica lineare, facente capo a due morsetti, può essere sostituita,
rispettando l’equivalenza agli effetti esterni, da un generatore reale di corrente,
avente corrente impressa IN pari alla corrente di cortocircuito della rete e resistenza
interna RN uguale alla resistenza presentata dalla rete, tra i due morsetti considerati,
in condizioni di “passività”, ossia con i bipoli attivi di tensione sostituiti da corto circuiti
e con i bipoli attivi di corrente sostituiti da circuiti aperti.
La procedura per il calcolo delle grandezze caratteristiche è analoga a quella esposta per
il generatore equivalente di Thevenin, con la differenza che per calcolare IN bisogna
determinare la corrente di cortocircuito della parte di rete sostituita, ossia quella che
circolerebbe in un conduttore ideale, privo di resistenza, collegato tra i due punti
d’interruzione.
Generatore equivalente di Thevenin
Si è visto nelle precedenti pagine che nello studio delle reti
elettriche lineari si fa largo uso delle trasformazioni di bipoli
in altri equivalenti (per esempio, da generatore reale di
tensione a generatore reale di corrente) e delle riduzioni di
più bipoli a uno o più equivalenti (per esempio, trasformazione
serie-parallelo e stella-triangolo).
In queste operazioni è fondamentale rispettare il concetto di
equivalenza agli effetti esterni, per chiarire il quale si
considerino, come nella sottostante figura, le reti elettriche
lineari S e S′, facenti capo, rispettivamente, ai morsetti
A-B e A′-B′.
È evidente che S e S′ saranno equivalenti agli effetti esterni, prescindendo da come si
presentano internamente, se, collegate allo stesso resistore R (o, in generale, allo stesso
bipolo), impongono ai morsetti la stessa tensione V e fanno circolare la stessa corrente I.
Essendo reti lineari, la cui caratteristica esterna risultante è una retta, l’equivalenza tra S e S′
si avrà su tutti i punti della caratteristica e, quindi, anche nel funzionamento a vuoto (circuito
aperto) e in cortocircuito (circuito chiuso con R = 0).
Ci si può chiedere, a questo punto, quale sia la più semplice rete S′ equivalente a S: per
rispettare l’equivalenza tra S e S′, la rete cercata dovrà essere un bipolo attivo, avente la
stessa tensione a vuoto V0 e la stessa corrente di cortocircuito Icc della rete S.
Queste condizioni vengono rispettate sostituendo alla rete S un generatore reale di tensione,
avente f.e.m. ETh e resistenza interna RTh della sottostante figura.
Generatore equivalente di Thevenin
Per la rete della soprastante figura a) si ha:
• tensione a vuoto V0;
• corrente di cortocircuito Icc.
Per la rete di figura b) le omonime grandezze sono:
• tensione a vuoto ETh;
• corrente di cortocircuito Icc= ETh /RTh.
Imponendo l’equivalenza a vuoto e in cortocircuito si ha:
Quanto sopra costituisce il teorema del generatore equivalente di Thevenin, che
afferma:
una rete elettrica lineare, facente capo a due morsetti, puo’ essere sostituita,
rispettando l’equivalenza agli effetti esterni, da un generatore reale di tensione,
avente f.e.m. ETh pari alla tensione a vuoto della rete e resistenza interna RTh pari al
rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito della rete; tale resistenza
coincide con quella interna della rete vista dai due morsetti considerati.
Per il calcolo delle due grandezze caratteristiche ETh e RTh si usa la seguente procedura:
•
si interrompe la rete in due punti, in modo da separare la parte di rete di cui si vuole
calcolare il generatore equivalente da quella che verrà poi collegata a tale generatore;
•
si calcola la tensione che si ha a vuoto tra i due punti d’interruzione, per la parte di rete
da sostituire, e si attribuisce tale valore alla f.e.m. ETh;
•
si calcola la resistenza equivalente RTh della parte di rete da sostituire, vista tra i due
punti d’interruzione, in condizioni di “rete passiva”, ossia sostituendo i bipoli attivi di
tensione con corto circuiti (E = 0) e quelli attivi di corrente con circuiti aperti (Io= 0).
In genere si parla di generatore di tensione equivalente e ciò è certamente vero per la
parte di rete che viene sostituita, nel senso che il bipolo attivo ottenuto si comporta da
generatore per quella parte di rete, considerata da sola; quando, però, tale bipolo attivo di
tensione viene collegato con il resto della rete potrebbe anche funzionare come utilizzatore
attivo, nel caso in cui si venisse a localizzare ai suoi capi una tensione superiore alla
f.e.m. ETh.
Calcolare la corrente I3 nella rete in figura:
Interrompendo il lato contenente R3 e sostituendo alla rete data (escluso R3 ) il generatore
equivalente di Thevenin si ottiene il seguente schema:
Per il calcolo di RTh bisogna agire sulla rete passiva della sottostante figura, in cui sono stati
disattivati i bipoli attivi:
Si ottiene:
La f.e.m. ETh è la tensione a vuoto (con R3 scollegato) tra i punti d’interruzione.
Considerando che R2 e R4 sono in parallelo, si ottiene il sottostante circuito:
In R24 non circola corrente e non vi è caduta di tensione; la corrente I02 interessa
l’unica maglia della rete, quindi si ha:
Dal circuito equivalente iniziale, si ricava:
Calcolare la corrente nel resistore R3 e la tensione VBC del circuito a ponte in figura:
Interrompendo il lato B-C e disattivando il generatore, si ottiene il circuito della sottostante
figura per il calcolo di RTh:
Per il calcolo di ETh si consideri il circuito sottostante Le correnti nei due rami in
parallelo sono date da:
La ETh, pari alla tensione a vuoto Vo, corrisponde alla d.d.p. tra i punti B e C ed è data da
Il risultato positivo indica che B è il punto a potenziale maggiore; il circuito finale
equivalente è rappresentato dalla seguente figura.
La corrente e la tensione cercate sono date da
Si ripeta l’esempio visto in precedenza, con il metodo del generatore equivalente di
Norton.
Il calcolo della resistenza rimane invariato rispetto all’esempio già visto e, quindi, si ha:
RN= 26 Ω. Il circuito per il calcolo di IN è quello nella sottostante figura.
Applicando il teorema di Millmann ai nodi A-B, si ha:
Il circuito iniziale si trasforma in quello della sottostante figura, per il quale si ha:
Principio di dualità
Si consideri la seguente frase, corrispondente a una legge della Fisica: “la resistenza
equivalente di n resistori in serie è pari alla somma delle resistenze dei singoli resistori”.
Se si sostituiscono le parole “resistenza” e “serie” con i termini “conduttanza” e
“parallelo” si ottiene la seguente affermazione, anch’essa relativa a una delle leggi
studiate: “la conduttanza equivalente di n resistori in parallelo è pari alla somma
delle conduttanze dei singoli resistori”.
Quanto sopra corrisponde al principio di dualità, secondo il quale affermata una certa
proposizione, è possibile ricavare un’altra affermazione operando un cambiamento di
termini, secondo una certa corrispondenza.
La corrispondenza, per i termini incontrati finora, è la seguente
tensione
resistenza
maglia
serie
a vuoto
aperto
corrente
conduttanza
nodo
parallelo
in cortocircuito
chiuso
Questo principio non ha un’applicazione immediata per la risoluzione delle reti
elettriche, ma può essere un’utile regola per ricordare le varie leggi o controllarne
l’esattezza della formulazione
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